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基礎科目・数学

div・rot・grad

よく出る大学

10問H23・H25・H26・H27・H30・R1・R2・R3・R7

ベクトルの発散 div・回転 rot と、関数の勾配 grad の大きさを、偏微分して点の値を入れて求める問題がほぼ毎年出ます。

よく出る形

  • ベクトル V＝(Vx, Vy, Vz) の，ある点での発散 divV や回転 rotV を求める
  • 関数 f(x, y) の，ある点での最急勾配の大きさ ‖gradf‖ を求める
  • 流れの「連続の式（divV＝0）」を満たす流速を選ぶ（平成26年度）
  • 毎回，関数や点が変わり，求めるもの（div，rot，grad の大きさ，連続の式）が変わる。数字だけの入れ替えはほぼない

覚えること

  • 偏微分 ∂/∂x：x 以外の文字を定数とみなして，x だけで微分すること
  • divV ＝ ∂Vx/∂x + ∂Vy/∂y + ∂Vz/∂z。足し算なので答えは1つの数
  • rotV ＝ (∂Vz/∂y − ∂Vy/∂z, ∂Vx/∂z − ∂Vz/∂x, ∂Vy/∂x − ∂Vx/∂y)。答えは3成分のベクトル（2次元なら ∂Vy/∂x − ∂Vx/∂y の1つ）
  • gradf ＝ (∂f/∂x, ∂f/∂y) は，いちばん急に増える向きのベクトル。その長さ √((∂f/∂x)2 + (∂f/∂y)2) が最急勾配の大きさ
  • 水のように縮まない流れ（非圧縮性）は divV ＝ 0
  • なめらかな f では rot(gradf) ＝ 0（勾配から作った流れにはうずがない）
  • なめらかな V では div(rotV) ＝ 0（うずから作った場には，わき出しも吸いこみもない）
  • gradf は等高線（3次元では等位面）に垂直。接する向きではない
  • 原点のまわりを回る流れ V＝(−y, x, 0) では，rotV ＝ (0, 0, 2)，divV ＝ 0

解き方

  • まず答えの「形」を見る。div は数，rot はベクトル，‖gradf‖ は数（√ がつくことが多い）
  • 必要な偏微分を1つずつ書き出す
  • 最後に点の座標を代入する（先に代入すると微分できない）
  • 係数を決める問題は，文字を含んだまま divV を計算し，「すべての点で0」になるように係数を決める
  • 例：f＝x2 + 2xy + 3y2 の点(1, 1)での ‖gradf‖（令和2年度）。∂f/∂x＝2x + 2y で 4，∂f/∂y＝2x + 6y で 8
  • 上の続き：‖gradf‖ ＝ √(42 + 82) ＝ √80 ＝ 4√5
  • 例：V＝(x, x2y + yz2, z3) の点(1, 3, 2)での divV（令和2年度）。1 + (x2 + z2) + 3z2 に x＝1，z＝2 を入れて 1 + 1 + 4 + 12 ＝ 18

ひっかけ

  • div の答えに3つ組のベクトルを，‖gradf‖ の答えに (4, 8) のようなベクトルを選ばない
  • V そのものに点を代入しただけの値（偏微分を忘れた値）を選ばない
  • 成分を足しただけ（4 + 8 ＝ 12）で，2乗と √ を忘れた値を選ばない
  • 勾配は等高線に接するのではなく，垂直
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想定問題：1・2・3

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