div・rot・grad 想定問題 3
なめらかなスカラー関数fとなめらかなベクトル場Vについての次の記述（ア）～（エ）の正誤の組合せとして，最も適切なものはどれか。ただし，3次元直交座標系(x, y, z)で考え，回転は rotV＝(∂Vz/∂y－∂Vy/∂z, ∂Vx/∂z－∂Vz/∂x, ∂Vy/∂x－∂Vx/∂y) とする。
（ア）どんな関数fについても，勾配gradfの回転rot(gradf)は，すべての成分が0のベクトル（零ベクトル）になる。
（イ）どんなベクトル場Vについても，回転rotVの発散div(rotV)は0になる。
（ウ）点Pでの勾配gradfは，点Pを通るfの等高線（3次元では等位面）に沿う向き，つまり接する向きを向く。
（エ）原点のまわりを回る流れ V＝(－y, x, 0) では，どの点でも rotV＝(0, 0, 2)，divV＝0 である。
アイウエ
解説
ポイント
grad・div・rot を組み合わせたときの決まりと，勾配の向きの意味を問う問題です。
考え方と解き方
rot(grad) ＝ 0 と div(rot) ＝ 0 は組で覚えます。勾配は等高線に垂直です。
ア：正しい。gradf の rot の z 成分は ∂2f/∂x∂y − ∂2f/∂y∂x です。なめらかな関数では微分の順番を入れかえても同じなので 0 です。ほかの成分も同じです。
イ：正しい。div(rotV) を書き出すと，同じ2階微分が + と − で1組ずつ出て打ち消し合い，0 になります。
ウ：誤り。gradf は，f がいちばん急に増える向きで，等高線に垂直です。接する向きではありません。
エ：正しい。V ＝ (−y, x, 0) では rotV の z 成分が ∂x/∂x − ∂(−y)/∂y ＝ 1 − (−1) ＝ 2，ほかは 0 で (0, 0, 2)。divV ＝ 0 です。答えは ア 正，イ 正，ウ 誤，エ 正
覚えておくこと
- なめらかな f では rot(gradf) ＝ 0（勾配から作った流れにはうずがない）（テキスト・覚えること）
- なめらかな V では div(rotV) ＝ 0（うずから作った場には，わき出しも吸いこみもない）（テキスト・覚えること）
- gradf は等高線（3次元では等位面）に垂直。接する向きではない（テキスト・覚えること）
- 原点のまわりを回る流れ V＝(−y, x, 0) では，rotV ＝ (0, 0, 2)，divV ＝ 0（テキスト・覚えること）
類似する過去問：令和3年度 基礎科目 I-3-1、平成30年度 基礎科目 I-3-2、令和2年度 基礎科目 I-3-2
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