最急勾配の長さ（gradの大きさ）

関数f(x, y)の勾配ベクトルを求め，点(2, 1)でのその長さを答える問題です。

偏微分は，ほかの文字をただの数とみなして1つの文字だけで微分することです。

勾配は偏微分を並べたベクトルで，長さは√（成分の2乗の和）です。

• xで偏微分（yは定数）：2x²→4x，xy→y，−y²→0 なので ∂f/∂x＝4x＋y
• yで偏微分（xは定数）：2x²→0，xy→x，−y²→−2y なので ∂f/∂y＝x−2y
• (2, 1)を入れる：∂f/∂x＝4×2＋1＝9，∂f/∂y＝2−2×1＝0
• 勾配は(9, 0)
• 長さ：√(9²＋0²)＝√81＝9。答えは ①（9）

④（(9, 0)）：勾配ベクトルそのものです。問われているのは「長さ」なので，数1つで答えます。

②（3）：9をさらに平方根にした値です。2乗の和の平方根は1回だけとります。

• ∂f/∂x はyを定数とみてxで微分，∂f/∂y はxを定数とみてyで微分
• 勾配は偏微分を並べたベクトルで，関数がいちばん急に増える向きを表す
• ベクトル(p, q)の長さは √(p²＋q²)