div・rot・grad 想定問題 1

関数 f を偏微分して勾配ベクトルを作り，その長さ‖gradf‖を求める問題です。

偏微分してから，最後に点の座標を入れます。ベクトル (p, q) の長さは √(p² + q²) です。

• x で偏微分（y は定数）：∂f/∂x ＝ 2x + 4y
• y で偏微分（x は定数）：∂f/∂y ＝ 4x − 2y
• 点(1, 3)を入れる：∂f/∂x ＝ 2 + 12 ＝ 14，∂f/∂y ＝ 4 − 6 ＝ −2。gradf ＝ (14, −2)
• 長さ：‖gradf‖ ＝ √(14² + (−2)²) ＝ √200 ＝ 10√2。答えは ③ 10√2

①（12）：成分を足しただけ（14 + (−2)）の値です。2乗して足してから √ をとります。

②（(14, −2)）：勾配ベクトルそのものです。問われているのは大きさなので，数1つで答えます。

④（4）：関数の値 f(1, 3) ＝ 1 + 12 − 9 です。偏微分をしていません。

⑤（2√3）：14 と −2 を 2乗せずに足して √(14 + (−2)) ＝ √12 ＝ 2√3 とした値です。2乗してから足します。

• gradf ＝ (∂f/∂x, ∂f/∂y) は，いちばん急に増える向きのベクトル。その長さ √((∂f/∂x)² + (∂f/∂y)²) が最急勾配の大きさ（テキスト・覚えること）
• 最後に点の座標を代入する（先に代入すると微分できない）（テキスト・解き方）
• div の答えに3つ組のベクトルを，‖gradf‖ の答えに (4, 8) のようなベクトルを選ばない（テキスト・ひっかけ）
• 成分を足しただけ（4 + 8 ＝ 12）で，2乗と √ を忘れた値を選ばない（テキスト・ひっかけ）