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基礎科目・力学

固有振動数

よく出る大学

11問H23・H24・H25・H26・H28・H29・R1・R1再・R2・R4・R6

ばねのつなぎ方や、はりの支え方・断面で固有振動数の大小を比べる問題が毎年出ます。基本は f＝(1/2π)√(k/m) です。

よく出る形

  • 2本のばねの並列・直列・両側から挟む系で，固有振動数が最大・最小のものを選ぶ
  • ばね質点系を水平・斜め・垂直に置いた時の大小
  • 糸の張力で振動する系の比。棒の振り子の周期
  • はりの支え方（単純支持・片持ち・両端固定）や断面の形で比べる
  • 固有振動数・固有振動モードの文章問題
  • 毎回，系の種類（ばね，糸，棒の振り子，はり）や求めるものが変わる。数字だけの入れ替えはほぼない

覚えること

  • f ＝ (1/(2π))√(k/m)。k はばね定数（硬さ），m は質量。硬いほど速く，重いほどゆっくりゆれる
  • 並列は K ＝ k1 ＋ k2。質点を両側から挟むのも K ＝ k1 ＋ k2。直列は 1/K ＝ 1/k1 ＋ 1/k2（k が同じなら K ＝ k/2）
  • 重力はつり合いの位置をずらすだけ。置く向き（水平・斜め・垂直）で f は変わらない
  • つるしたばねでは，つり合いの伸び δ から k/m ＝ g/δ。f ＝ (1/(2π))√(g/δ)
  • f（Hz），角振動数 ω ＝ 2πf（rad/s），周期 T ＝ 1/f（秒）は別のもの
  • 単振り子の周期 T ＝ 2π√(L/g)。質量によらず，糸の長さ L を4倍にすると周期は2倍
  • 端を支点にした棒の慣性モーメントは Ml2/3
  • はりは曲げにくさ EI（E はヤング率，I は断面二次モーメント）が大きいほど f が高い。支えがしっかりしているほど高い（両端固定 ＞ 単純支持 ＞ 片持ち）
  • 長方形断面の I は，たわむ向きの寸法の3乗に比例する（高さ h の向きにたわむなら bh3/12）。断面積が同じなら，たわむ向きに薄い形ほど f は低い
  • 減衰（速さに比例する抵抗）があると振幅は小さくなり，振動数は減衰がない時より少し低くなる：ωd ＝ ωn√(1 − ζ2)（ζ は減衰比）
  • はりや板には固有振動モードが無数にある。時間の2階微分がない熱伝導では振動は起きない

解き方

  • それぞれの系の「まとめたばね定数 K」を出す
  • K/m を比べる。f は √(K/m) に比例する
  • 例：ばね定数 k のばね2本と質量 m → 並列 K ＝ 2k，両側から挟む K ＝ 2k，直列 K ＝ k/2。直列の f は並列の √((k/2)/(2k)) ＝ 1/2 倍で，最小は直列
  • 例：糸の系（T は糸の張力）で，(a) K ＝ 2T/L，質量 m，(b) K ＝ T/L，質量 2m → K/m は (b) が (a) の 1/4 なので，fa：fb ＝ 2：1
  • つるしたばね：δ ＝ 4.9 cm ＝ 0.049 m なら k/m ＝ 9.8 ÷ 0.049 ＝ 200，ω ≒ 14.1 rad/s，f ≒ 2.25 Hz

ひっかけ

  • 「両側から挟む」を直列と思いこまない（並列と同じ 2k）
  • 垂直につるすと重力で振動数が変わる，と考えない（変わらない）
  • 周期，振動数，角振動数を取りちがえない（周期 ＝ 1/f，ω ＝ 2πf）
  • ばね定数の合計が大きくても，質量も大きければ K/m は小さくなる
  • 減衰があると振動数が高くなる，と考えない。少し低くなる
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想定問題：1・2・3

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