糸に付けた物体の固有振動数

糸の張力が「ばね」の役目をする振動で，ばねの強さと質量から固有振動数を出し，2つの系を比べる問題です。

固有振動数は f＝(1/2π)√(k/m) です。k はばね定数（1 m ずらした時に戻そうとする力），m は質量です。

θ が小さい時は sinθ ≒（横のずれ x）÷（糸の片側の長さ）と近似できます。

• 系（a）：片側の長さ L。sinθ ≒ x/L なので復元力は 2T×x/L＝(2T/L)x。k_a＝2T/L，質量 m

• 系（b）：片側の長さ 2L。sinθ ≒ x/(2L) なので復元力は 2T×x/(2L)＝(T/L)x。k_b＝T/L，質量 2m

• 比をとる：f_a/f_b＝√{(2T/(mL))÷(T/(2mL))}＝√(2×2)＝√4＝2
• （b）はばねが半分の強さで質量が 2倍なので，k/m が 1/4，振動数は √(1/4)＝1/2 になる。答えは ⑤ f_a：f_b＝2：1

③（1：2）：大小が逆です。（b）は糸が長く質量も大きいので，ゆっくりゆれる（振動数が小さい）側です。

④（√2：1）：長さか質量のどちらか一方の変化しか考えなかった時の値です。両方で k/m が 1/4 になります。

• 固有振動数 f＝(1/2π)√(k/m)。f は √(k/m) に比例
• ばねが弱く（糸が長く），重いほどゆっくりゆれる
• 張った糸の中央の物体：復元力 2T sinθ ≒ 2T x/（片側の長さ）。ばね定数は 2T÷（片側の長さ）
• 小さい角では sinθ ≒ tanθ ≒ θ