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基礎科目・数学

数値解析の誤差と精度

よく出る大学

8問H24・H26・H27・H29・R1再・R2・R4・R5

桁落ち・情報落ち・丸め誤差などの意味と、数値解析の精度を上げる方法・下げる方法を見分ける文章問題です。

よく出る形

  • 「数値解析の誤差について，最も適切（不適切）なものはどれか」と，誤差の種類の説明を見分ける
  • 「数値解析の精度を向上する方法として，最も不適切なものはどれか」（令和4年度と令和元年度再試験は同じ選択肢）
  • 有限要素法の要素分割の細かさと結果の関係を問う形（平成24・29年度）
  • ふつうの記述（桁落ちと情報落ちの説明など）の中に，1か所だけ入れかえた誤りの文が1本まざる。同じ選択肢がくり返し出ることもある

覚えること

  • 丸め誤差：コンピュータが決まった桁数でしか数を持てないために出る誤差。単精度（約7桁）から倍精度（約16桁）にすると小さくなる
  • 桁落ち：ほとんど同じ大きさの2数の引き算で，意味のある桁（有効桁）が減ること
  • 情報落ち：大きさが極端に違う2数の足し算で，小さい方が消えてしまうこと
  • 離散化誤差（打切り誤差）：細かいマス目や要素に分けて近似するための誤差。格子幅や要素，時間刻みΔtを小さくすると小さくなる
  • モデル化誤差：非線形の現象を線形の式で近似するなど，式に置きかえたこと自体のずれ。解き方が厳密でも，桁数を増やしても消えない
  • 数学的に同じ式でも，計算の順番や形で結果が変わることがある
  • 連立方程式は，逆行列を作らなくても（ガウスの消去法など）解ける
  • 同じ符号の数を多く足す時は，小さい数から順に足すと情報落ちを減らせることが多い
  • 反復計算の収束判定のしきい値ε：大きくすると早く止まるが，答えは粗くなる（精度は下がる）
  • √A − √B の桁落ちは，√A + √B をかけて引き算を消すと避けられる：√(x2 + 1) − x ＝ 1/(√(x2 + 1) + x)
  • 有限要素法：応力が集中する所など変化の大きい所を細かく分け，要素の形は整える。ゆがんだ要素は誤差の原因

解き方

  • 選択肢を「精度が上がる側」と「下がる側」に分ける
  • 上がる側のことば：細かく分割，高次要素，倍精度，ゆがみの少ない要素，変化の大きい所を細かく
  • 下がる側のことば：収束判定条件の緩和，粗く，誤差は減らない，格子幅によらず一定
  • 「不適切」を選ぶ問題なら，下がる側の1つが答え
  • 例：「反復回数が多いので，収束判定条件を緩和した」は，早く止まるだけで精度は下がるので不適切（令和4年度・令和元年度再試験）
  • 桁落ちの例：1.2345678 − 1.2345601 ＝ 0.0000077 では，8桁あった有効数字が2桁に減る

ひっかけ

  • 桁落ちと情報落ちの説明を入れかえない（近い数の引き算は桁落ち，大きさが極端に違う数の足し算は情報落ち）
  • 「要素分割を細かくすると近似誤差は大きくなる」は逆。小さくなる
  • 「アルゴリズムを改良しても誤差は減らない」は誤り。減らせる
  • 「数学的に等価な式なら，どれで計算しても結果は等しい」は誤り。等しいとは限らない
  • 収束判定のしきい値を大きくして精度が上がる，としない（早く止まるだけ）
このテーマの想定問題を解く

想定問題：1・2・3

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