数値解析の誤差

コンピュータの計算で出る誤差（桁落ち・情報落ち）と，数値計算の基本を問う問題です。

コンピュータは決まった桁数でしか数を持てないので，計算のたびに丸め誤差が出ます。

数学では同じ式でも，計算の順番や形がちがえば誤差の出方が変わります。

①：数学的に同じ式でも，形がちがうと丸め誤差や桁落ちの出方が変わり，結果がずれることがあります。たとえば √(x＋1)−√x と 1/(√(x＋1)＋√x) は同じ値ですが，x が大きいと前者は桁落ちします。これが誤りです

②：近い大きさの2数の引き算で上の桁が打ち消し合い，意味のある桁が減るのが桁落ちです。正しいです

③：大きい数と小さい数の足し算で，小さい数が桁の外に消えるのが情報落ちです。正しいです

④：ガウスの消去法や LU 分解，反復法なら，逆行列を作らずに解けます。正しいです

⑤：要素を細かくすると近似はよくなります（計算量は増えます）。正しいです。答えは ①

• 桁落ち：近い2数の引き算で有効桁が減る。情報落ち：大きさのちがう2数の足し算で小さい方が消える
• 「数学的に同じ＝計算結果も同じ」とは限らない。引き算を避ける形に式を変形して桁落ちを防ぐ
• 連立方程式は逆行列を作らず，消去法や反復法で解くのがふつう