数値解析の誤差

数値計算で出る誤差の種類と性質について，正しい記述を選ぶ問題です。

誤差には，細かく分けるほど小さくなる離散化誤差，桁数が有限なために出る丸め誤差，近い数の引き算で有効桁が減る桁落ちなどがあります。

線形で近似したこと自体によるモデル化誤差は，計算法がどれだけ正確でも消えません。

①：要素分割を細かくすると近似誤差は小さくなります。「大きくなる」は逆です。

②：誤差の大きさは計算法で変わります。よい方法を使えば減らせます。

③：ほぼ同じ大きさの2数を引くと上の桁が消え，有効桁数が減ります。これが桁落ちで，正しい記述です。

④：差分近似の誤差は格子幅 h に比例したり h² に比例したりするので，h によって変わります。

⑤：非線形を線形に置きかえた時点でモデル化誤差が生じ，厳密に解いても残ります。答えは ③

⑤（線形近似）：「解き方が厳密なら誤差はない」という言い方は，モデルを置きかえた時の誤差を忘れさせるひっかけです。

• 離散化誤差（打ち切り誤差）：格子や要素を細かくするほど小さくなる
• 桁落ち：近い2数の引き算で有効桁数が失われる。例：1.2345678−1.2345601＝0.0000077（8桁→2桁）
• モデル化誤差：現象を単純な式に置きかえたこと自体によるずれ。計算法では減らせない