数値解析の誤差と精度 想定問題 3

桁落ちが起きる引き算を，式の変形で避ける方法を問う問題です。

x が大きいと √(x² + 1) は x にとても近く，引き算で桁落ちが起こります。√A − √B の形には √A + √B をかけて，引き算を消します。

• y ＝ (√(x² + 1) − x) × (√(x² + 1) + x) ÷ (√(x² + 1) + x) と変形する
• 分子は (x² + 1) − x² ＝ 1 なので，y ＝ 1/(√(x² + 1) + x)。分母は足し算で，桁落ちは起きない
• 数の例（有効数字8桁）：x ＝ 10000 で，もとの式は √(x² + 1) が 10000.000 に丸まり y ＝ 0
• 変形した式は 1/(10000.000 + 10000) ＝ 5.0 × 10⁻⁵ で，真の値（約4.9999999875 × 10⁻⁵）に近い。答えは ③

①：y と数学的に等しい式ですが，√(1 + 1/x²) が1にとても近く，1との引き算で同じように桁落ちが起こります。

②：分母が引き算のままで，値は y の逆数なので y と等しくありません。

④（1/(2x)）：x が大きい時の近似値で，y とぴったり等しい式ではありません。

⑤：分子に引き算が残り，値も y と等しくありません。

• √A − √B の桁落ちは，√A + √B をかけて引き算を消すと避けられる：√(x² + 1) − x ＝ 1/(√(x² + 1) + x)（テキスト・覚えること）
• 数学的に同じ式でも，計算の順番や形で結果が変わることがある（テキスト・覚えること）
• 桁落ち：ほとんど同じ大きさの2数の引き算で，意味のある桁（有効桁）が減ること（テキスト・覚えること）