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基礎科目・力学

棒の伸びと不静定

よく出る大学

10問H24・H26・H27・H28・H29・H30・R3・R4・R5・R7

δ＝PL/(EA) で棒の伸びを出す計算と、両端固定の棒の反力・熱応力（つり合いだけでは解けない不静定問題）です。

よく出る形

  • 棒を引っ張った時の伸びを求める
  • 2本の棒で荷重を支える時の，軸力の比・伸びの比・応力の比
  • 両端固定の棒の途中に力をかけた時の，反力や力をかけた点の変位
  • 両端固定の棒の温度が上がった時の熱応力
  • 毎回，求めるもの（伸び，軸力の比，反力，変位，熱応力）が変わる。数字だけの入れ替えはほぼない

覚えること

  • 応力 σ ＝ P/A（P は力，A は断面積）。ひずみ ε ＝ δ/L（δ は伸び，L は長さ）。フックの法則 σ ＝ Eε（E はヤング率）
  • σ，ε，フックの法則から，伸び δ ＝ PL/(EA)
  • 1 GPa ＝ 1,000 N/mm2。力は N，長さは mm にそろえる
  • 長さ L の棒を u だけ伸ばす力は EAu/L。短い棒ほど，同じ u に大きな力が要る
  • 両端固定の棒（つり合いだけでは解けない不静定）では，力は長さの逆比で分かれ，近い壁（短い側）が多く受け持つ
  • 熱応力 σ ＝ EαΔT（α は線膨張率，ΔT は温度の変化）。上がると圧縮，下がると引張。長さ・断面積によらない
  • 自由な棒は温度が ΔT 上がると αΔTL だけ伸びる
  • すき間がある時，応力になるのは「自由な伸び − すき間」だけ。すき間までは自由に伸びるので応力は出ない

解き方

  • まず単位をそろえる（N，mm，N/mm2）
例：P ＝ 2.0 kN，L ＝ 2.4 m，A ＝ 120 mm2，E ＝ 200 GPa → δ ＝ 2,000 × 2,400 ÷ (2.0×105 × 120) ＝ 0.20 mm
  • 両端固定：力をかけた点が u 動くとして，左右の棒の力 EAu/a と EAu/b を足したものが P と等しい，という式を立てる
  • 例：左から L，右から 4L の点に力 P → 力の比は 4：1。左の壁が (4/5)P，右の壁が (1/5)P を受け持つ
  • 熱応力：自由な伸びを出し，すき間を引き，残りを押しもどされた長さとして応力（E × 押しもどされた長さ ÷ L）を出す
  • 例：E ＝ 2.0×103 MPa，α ＝ 1.0×10−4/K，20 K 上昇 → σ ＝ 2.0×103 × 1.0×10−4 × 20 ＝ 4.0 MPa（圧縮）
  • 2本の棒：直角に交わる 30° と 60° の棒なら，軸力は P cos60° ＝ P/2 と P cos30° ＝ √3P/2。急な棒が多く受け持つ

ひっかけ

  • GPa を N/mm2 に直し忘れない（桁がずれる）
  • 両端固定では，遠い壁（長い側）ではなく，近い壁（短い側）が多く受け持つ
  • 熱応力に長さを掛けない。温度が上がったのに引張にしない
  • すき間があるのに EαΔT をそのまま使わない。すき間が閉じるかどうかを先に調べる
このテーマの想定問題を解く

想定問題：1・2・3

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