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基礎科目・数学

内積・外積と垂線

よく出る大学

5問H26・H29・R1再・R4・R6

内積・外積の性質と、点から直線・平面へ下ろした垂線をベクトルで求める問題です。

よく出る形

  • 内積・外積で「必ずしも成り立たない式」を選ぶ（令和4年度），内積を成分で書く（平成26年度）
  • 点から直線への垂線のベクトル（令和6年度），ベクトルを平行な成分と垂直な成分に分ける（平成29年度）
  • 点から平面へ下ろした垂線の足の座標（令和元年度再試験）
  • 毎回，点や平面が変わり，求めるもの（成り立つ式，垂線，垂直な成分，垂線の足）が変わる。数字だけの入れ替えはほぼない

覚えること

  • 内積 a・b ＝ a1b1 + a2b2 + a3b3 ＝ |a||b|cosθ。答えは数で，入れかえても同じ。直角なら0
  • 外積 a×b は，a と b の両方に直角なベクトル。大きさは a と b が作る平行四辺形の面積
  • b×a ＝ −a×b（入れかえると向きが逆），a×a ＝ 0，(a×b)・a ＝ 0，(a×b)・b ＝ 0
  • |b| ＝ 1 のとき，a の b 方向の成分（正射影）は (a・b)b，垂直な成分は a − (a・b)b
  • |b| が1でないとき，正射影は {(a・b) ÷ |b|2}b，垂直な成分は a − {(a・b) ÷ |b|2}b
  • 平面 ax + by + cz ＝ d に垂直な向き（法線ベクトル）は (a, b, c)
  • 外積の成分：(p1, p2, p3)×(q1, q2, q3) ＝ (p2q3 − p3q2, p3q1 − p1q3, p1q2 − p2q1)
  • 三角形の面積 ＝ 2辺のベクトルの外積の大きさ ÷ 2

解き方

  • 例：点A(6, 5, 4) から平面 x + 2y − z ＝ 0 へ下ろした垂線の足B（令和元年度再試験）。法線ベクトルは (1, 2, −1)
  • Aを通りこの向きの直線は (6 + t, 5 + 2t, 4 − t) と書ける
  • 平面の式に入れる：(6 + t) + 2(5 + 2t) − (4 − t) ＝ 12 + 6t ＝ 0 なので t ＝ −2
  • B ＝ (4, 1, 6)。確かめ：4 + 2 − 6 ＝ 0 で平面の上にある
  • 同じ考えで A ＝ (6, 5, 4) を B ＝ (1, 2, −1) に平行な成分と垂直な成分に分ける（平成29年度）。A・B ＝ 12，|B|2 ＝ 6 なので，平行な成分は (12/6)B ＝ (2, 4, −2)
  • 垂直な成分は A − (2, 4, −2) ＝ (4, 1, 6)。B との内積は 4 + 2 − 6 ＝ 0 で，確かに直角
  • 三角形の面積：2辺のベクトルを成分で出し，外積を計算して，大きさを求めて2で割る

ひっかけ

  • a×b ＝ b×a は，外積では入れかえると符号が逆なので，必ずしも成り立たない
  • 垂線は「足 − 出発点」。(a・b)b は足の位置で，垂線そのものではない
  • 平面の上にある点でも，出発点からの向きが法線と平行でなければ，垂線の足ではない
  • |b| が1でないのに (a・b)b を使わない。|b|2 で割る
  • 外積の大きさは平行四辺形の面積。三角形の面積はその半分
このテーマの想定問題を解く

想定問題：1・2・3

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