点から直線への垂線ベクトル

a の先から b の方向の直線に下ろした垂線を，正射影を使ってベクトルで書く問題です。

長さ1の b との内積 a・b は，a を b の方向に落とした影の長さです。

「P から Q へ向かうベクトル」は「Q の位置ベクトル−P の位置ベクトル」で求めます。

• 影の長さ a・b に向きを表す b を掛けた (b・a)b が，垂線の足 H の位置ベクトルです（正射影）
• a の終点 P の位置ベクトルは a です
• 垂線は P から H へ向かうので，H−P＝(b・a)b−a
• 確かめ：このベクトルと b の内積は (b・a)(b・b)−a・b＝(b・a)×1−a・b＝0 で，b と直角です。答えは ②

④（(b・a)b）：原点から垂線の足までのベクトル（正射影そのもの）で，垂線ではありません。

①（a×b）：外積は a と b の両方に直角な向きで，直線に向かう垂線とは別のものです。

• b が長さ1なら，a の b 方向への正射影は (a・b)b。|b|＝1 でない時は (a・b)b/|b|²
• 垂線のベクトルは「足−出発点」。向きを逆にすると符号が変わる
• 垂線になっているかは，b との内積が0になるかで確かめる