内積・外積と垂線 想定問題 1

点から平面に下ろした垂線の足の座標を求める問題です。

垂線の足は，点を通って法線ベクトルの向きに進む直線と，平面との交点です。

• 法線ベクトルは (1, −2, 2)。点Pを通りこの向きの直線は (3 + t, 7 − 2t, 1 + 2t)
• 平面の式に入れる：(3 + t) − 2(7 − 2t) + 2(1 + 2t) ＝ 0
• かっこを外すと 3 + t − 14 + 4t + 2 + 4t ＝ −9 + 9t ＝ 0 なので t ＝ 1
• x ＝ 4，y ＝ 5，z ＝ 3。確かめ：4 − 10 + 6 ＝ 0 で平面の上にある。答えは ③ (4, 5, 3)

①・②・④：どれも平面の上にある点です。でも出発点Pからの向きが法線 (1, −2, 2) と平行ではなく，垂線の足ではありません。

⑤（(2, 9, −1)）：t の符号を取り違えた点です。法線の向きにはありますが，平面の上にありません。

• 平面 ax + by + cz ＝ d に垂直な向き（法線ベクトル）は (a, b, c)（テキスト・覚えること）
• 平面の上にある点でも，出発点からの向きが法線と平行でなければ，垂線の足ではない（テキスト・ひっかけ）