内積・外積と垂線 想定問題 3
座標 (x, y, z) の3次元直交座標系に，3点A(1, 0, 0)，B(0, 2, 0)，C(0, 0, 2) がある。ベクトルAB，ACの外積AB×ACと，三角形ABCの面積の組合せとして，最も適切なものはどれか。なお，2つのベクトル (p1, p2, p3)，(q1, q2, q3) の外積は (p2q3－p3q2, p3q1－p1q3, p1q2－p2q1) である。
AB×AC三角形ABCの面積
解説
ポイント
外積を成分で計算し，その大きさから三角形の面積を求める問題です。
考え方と解き方
外積の大きさは，2辺が作る平行四辺形の面積です。三角形はその半分なので，面積は |AB×AC| ÷ 2 です。
AB ＝ B − A ＝ (−1, 2, 0)，AC ＝ C − A ＝ (−1, 0, 2)
x成分：2 × 2 − 0 × 0 ＝ 4
y成分：0 × (−1) − (−1) × 2 ＝ 2
z成分：(−1) × 0 − 2 × (−1) ＝ 2。AB×AC ＝ (4, 2, 2)
- 確かめ：AB との内積は −4 + 4 ＝ 0，AC との内積は −4 + 4 ＝ 0 で，どちらとも直角
- 大きさは √(16 + 4 + 4) ＝ √24 ＝ 2√6。三角形の面積は 2√6 ÷ 2 ＝ √6。答えは ④
ほかの選択肢
①（面積 2√6）：外積は正しいですが，2√6 は平行四辺形の面積です。三角形は2で割ります。
②（(−4, −2, −2)）：順番を入れかえた AC×AB の値です。外積は入れかえると向きが逆になります。
③（(4, −2, 2)）：y成分の符号を取り違えた値で，AB との内積が −8 になり，直角になりません。
覚えておくこと
- 外積の成分：(p1, p2, p3)×(q1, q2, q3) ＝ (p2q3 − p3q2, p3q1 − p1q3, p1q2 − p2q1)（テキスト・覚えること）
- 三角形の面積 ＝ 2辺のベクトルの外積の大きさ ÷ 2（テキスト・覚えること）
- b×a ＝ −a×b（入れかえると向きが逆），a×a ＝ 0，(a×b)・a ＝ 0，(a×b)・b ＝ 0（テキスト・覚えること）
- 外積の大きさは平行四辺形の面積。三角形の面積はその半分（テキスト・ひっかけ）
類似する過去問：令和4年度 基礎科目 I-3-2
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