平面への垂線の足

点から平面におろした垂線と平面との交点（垂線の足）の座標を求める問題です。

平面 ax＋by＋cz＝d に垂直な向き（法線ベクトル）は，係数を並べた (a, b, c) です。

点Aからこの向きに進む直線を t で表し，平面の式に入れて t を決めます。

• 法線ベクトルは (1, 2, −1)
• 直線上の点：(6＋t, 5＋2t, 4−t)
• 平面の式に入れる：(6＋t)＋2(5＋2t)−(4−t)＝0
• 整理すると 12＋6t＝0 なので t＝−2
• t＝−2 を入れて (6−2, 5−4, 4＋2)＝(4, 1, 6)
• 確かめ：4＋2−6＝0 で平面上。A から (4, 1, 6) へのベクトル (−2, −4, 2) は法線の −2 倍。答えは ② (4, 1, 6)

①・③・④（平面上の点）：平面の式は満たしますが，A から見た向きが法線と平行ではないので，垂線の足ではありません。

⑤（(5, 3, 5)）：5＋6−5＝6 で，そもそも平面上にありません。平面の式に入れるだけで外せます。

• 平面 ax＋by＋cz＝d の法線ベクトルは (a, b, c)。係数がそのまま向きになる
• 点Pを通り向き n の直線は P＋t n と書ける。t は平面の式で決める
• 確かめ：交点が平面の式を満たすこと，A から交点へのベクトルが法線の定数倍であること