内積・外積と垂線 想定問題 2

ベクトル a を，長さが1とは限らない b に平行な成分と垂直な成分に分ける問題です。

b の長さが1でないときは，b をその長さで割って長さ1にしてから使います。すると平行な成分は {(a・b) ÷ |b|²}b になります。垂直な成分は「a から平行な成分を引いた残り」です。

• 平行な成分を P ＝ {(a・b) ÷ |b|²}b とおく
• 垂直な成分は Q ＝ a − P ＝ a − {(a・b) ÷ |b|²}b
• 確かめ：Q・b ＝ a・b − {(a・b) ÷ |b|²}(b・b) ＝ a・b − a・b ＝ 0 で，Q は b と直角
• P + Q ＝ a にもなる。答えは ① a − {(a・b) ÷ |b|²}b

②（a − (a・b)b）：|b| ＝ 1 のときだけ正しい式です。|b| ＝ 2 なら Q・b ＝ a・b − 4(a・b) ＝ −3(a・b) で，ふつうは0になりません。

③：b に平行な成分（正射影）のほうです。

④：b と直角ですが，垂直な成分の向きを逆にしたものです。平行な成分と足しても a になりません。

⑤（a×b）：a と b の両方に直角なベクトルで，平行な成分と足しても a になりません。

• |b| ＝ 1 のとき，a の b 方向の成分（正射影）は (a・b)b，垂直な成分は a − (a・b)b（テキスト・覚えること）
• |b| が1でないとき，正射影は {(a・b) ÷ |b|²}b，垂直な成分は a − {(a・b) ÷ |b|²}b（テキスト・覚えること）
• |b| が1でないのに (a・b)b を使わない。|b|² で割る（テキスト・ひっかけ）