基礎科目・数学
集合の個数
3問R1再・R4・R5
包除原理で和集合・積集合の要素の数を出す問題と、写像の総数を数える問題です。
よく出る形
- 3つの集合の個数と，どれにも入らない個数から，全体の個数を出す（令和5年度）
- 4つの集合の条件から，全部に共通する積集合の要素数を出す（令和4年度）
- 直積集合から {0, 1} への写像の総数（令和元年度再試験）
- 毎回，求めるものが変わる（全体を求める，重なりを逆に求める，写像を数える）。使う式は同じ
覚えること
- n(X) は集合 X の要素の個数。∩（積集合）は「どちらにも入る」，∪（和集合）は「どれかに入る」
2つ：n(A∪B) ＝ n(A) + n(B) − n(A∩B)
3つ：n(A∪B∪C) ＝ n(A) + n(B) + n(C) − n(A∩B) − n(B∩C) − n(C∩A) + n(A∩B∩C)
- 4つ：（1つずつの和）−（2つの積の和）＋（3つの積の和）−（4つの積）。符号が交互に変わる
- 全体 ＝ 和集合 + 補集合（どれにも入らないもの）。和集合 ＝ 全体 − どれにも入らないもの
- 直積 A×B の要素数は n(A) × n(B)。写像 X→Y の総数は（Y の個数）（X の個数）
- 単射：X の違う要素を違う行き先に送る写像。行き先が1つずつ減るので，X が3個，Y が4個なら 4 × 3 × 2 ＝ 24 通り
解き方
- 例：n(A)＝300，n(B)＝180，n(C)＝120，n(A∩B)＝60，n(A∩C)＝40，n(B∩C)＝20，n(A∩B∩C)＝10，どれにも入らないもの400（令和5年度）
足す：300 + 180 + 120 ＝ 600
- 2つの重なりを引く：600 − (60 + 40 + 20) ＝ 480
- 3つの重なりを足し戻す：480 + 10 ＝ 490。全体：490 + 400 ＝ 890
- 重なりを逆に求める時は，求める積集合を x とおいて式に入れ，x について解く
- 4つの例（令和4年度）：各11個，2つの積は 4 × 3 ÷ 2 ＝ 6 通りで各7個，3つの積は4通りで各4個，和集合16個。16 ＝ 44 − 42 + 16 − x より x ＝ 2
- 写像の例：A×B の要素は 4 × 2 ＝ 8 個。それぞれに0か1を割り当てるので 28 ＝ 256 通り
ひっかけ
- 単純に足しただけの値（600）や，重なりを引くだけで足し戻さない値にしない
- どれにも入らないもの（補集合）を足し忘れない。和集合は全体ではない
- 組合せの数（6通り・4通り）を掛け忘れない
- 直積の要素数は足し算（4 + 2）ではなく掛け算
- 写像の総数は（Y の個数）（X の個数）。底と指数を入れかえない（43 ＝ 64 と 34 ＝ 81）