集合の個数 想定問題 3

写像の総数と，そのうち単射の数を数える問題です。

写像の総数は（行き先の数）^{（出発点の数）}です。単射は一度使った行き先が使えず，選べる数が1つずつ減ります。

• X は3個，Y は4個。1，2，3 のそれぞれに行き先が4通りある
• 写像の総数：4 × 4 × 4 ＝ 4³ ＝ 64
• 単射：1 の行き先は4通り，2 は1で使ったもの以外の3通り，3 は残りの2通り
• 単射の数：4 × 3 × 2 ＝ 24。答えは ⑤ 64 と 24

①：81 は 3⁴。底と指数を入れかえた値です。

②（単射 4）：Y から3つを選ぶ組合せの数（4 × 3 × 2 ÷ 6）で，並べ方を数えていません。単射は並べ方まで数えるので 24 です。

③：12 は 3 × 4 で，直積 X×Y の要素数です。

• 直積 A×B の要素数は n(A) × n(B)。写像 X→Y の総数は（Y の個数）^{（X の個数）}（テキスト・覚えること）
• 単射：X の違う要素を違う行き先に送る写像。行き先が1つずつ減るので，X が3個，Y が4個なら 4 × 3 × 2 ＝ 24 通り（テキスト・覚えること）
• 写像の総数は（Y の個数）^{（X の個数）}。底と指数を入れかえない（4³ ＝ 64 と 3⁴ ＝ 81）（テキスト・ひっかけ）