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基礎科目・数学

ヤコビ行列と重積分

よく出る大学

6問H24・H28・R1・R5・R6

変数変換のヤコビ行列とその行列式（ヤコビアン）、領域の上での重積分の計算が出ます。

よく出る形

  • 連鎖律の式から，ヤコビ行列 [J] の中身を選ぶ
  • [J] の行列式（ヤコビアン）を選ぶ
  • x＝u＋v，y＝uv のように，具体的な変数変換のヤコビアンを求める
  • 四分円や三角形の領域で重積分の値を出す
  • 連鎖律・ヤコビアンの問題と，領域での重積分の問題が出る。式や領域は毎回変わる

覚えること

  • 連鎖律：∂z/∂r＝(∂x/∂r)(∂z/∂x)＋(∂y/∂r)(∂z/∂y)。r を動かすと x と y の両方を通して z が変わる
  • 式を「左辺＝[J]×(縦ベクトル)」の形に並べると，1段目の式の係数がそのまま [J] の1行目になる
  • 2行2列の行列式は ad−bc（たすきがけで引く）
  • ヤコビアン＝(∂x/∂r)(∂y/∂s)−(∂y/∂r)(∂x/∂s)（r，s は変数の名前で，u，v でも同じ）。変数を変えると dxdy＝|ヤコビアン|drds
  • 偏微分 ∂x/∂u は，v を止めて u だけを動かした時の x の変わり方
  • 重積分は，内側の変数から1つずつ積分する（累次積分）。内側を積分する間，外側の変数は定数として扱う
  • 極座標 x＝r cosθ，y＝r sinθ のヤコビアンは r。dxdy＝r drdθ。x2＋y2＝r2
  • 半径2の四分円なら，r は 0 から 2，θ は 0 から π/2。円全体なら θ は 0 から 2π
  • x＝0，y＝0，x＋y＝a で囲む三角形で x＋y を積分すると a3/3（大きさを a 倍にすると値は a3 倍）

解き方

例1：x＝u＋v，y＝uv。∂x/∂u＝1，∂x/∂v＝1，∂y/∂u＝v，∂y/∂v＝u
  • ヤコビアン＝1×u−1×v＝u−v
  • 例2：∬x dxdy，領域 0≦x≦1，0≦y≦√(1−x2)（四分円）。先に y で積分すると x√(1−x2)
  • t＝1−x2 と置くと ∫01x√(1−x2)dx＝(1/2)∫01t1/2dt＝(1/2)×(2/3)＝1/3
  • 例3：x＝0，y＝0，x＋y＝2 で囲む三角形で x＋y を積分。y で 0 から 2−x まで積分すると 2−x2/2
  • x で 0 から 2 まで積分すると 4−8/6＝8/3
  • 極座標の例：∬(x2＋y2)dxdy（半径2の四分円）は r2×r＝r3 を積分。r で 0〜2 は 4，θ で 0〜π/2 は 4×π/2＝2π

ひっかけ

  • [J] の行と列を入れかえた形（転置）にしない。x を r で微分すべき所を，r を x で微分しない
  • 行列式を「足す」形にしない（ad＋bc ではなく ad−bc）
  • π/4 は四分円の面積で，x を掛けた積分の値ではない
  • 極座標で，dxdy＝drdθ としない（r を掛け忘れない）
  • 四分円の θ の範囲を 0〜2π にしない（円全体の値になる）
  • 偏微分の係数（2u の 2 など）を落とさない
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想定問題：1・2・3

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