ヤコビ行列と偏微分の連鎖律

u の x，y での偏微分を f，g での偏微分から組み立てる連鎖律を，行列の形で書く問題です。

x を少し動かすと f と g の両方が変わり，その両方を通して u が変わります。

行列と縦ベクトルの掛け算では，1行目の2つの数と縦ベクトルの2つの数を順に掛けて足したものが1段目になります。

• 連鎖律：∂u/∂x＝(∂f/∂x)(∂u/∂f)＋(∂g/∂x)(∂u/∂g)
• 同じく：∂u/∂y＝(∂f/∂y)(∂u/∂f)＋(∂g/∂y)(∂u/∂g)
• 右辺の縦ベクトルは上から ∂u/∂f，∂u/∂g です
• 1段目の式の係数を並べると，[J] の1行目は ∂f/∂x，∂g/∂x
• 2段目の式の係数を並べると，2行目は ∂f/∂y，∂g/∂y
• f，g を x，y で微分した形で，1行目に ∂f/∂x，∂g/∂x が並ぶものを選びます。答えは ④

②（転置）：中身の偏微分は同じですが，行と列が入れ替わっています。1段目が (∂f/∂x)(∂u/∂f)＋(∂f/∂y)(∂u/∂g) となり，連鎖律と合いません。

①・⑤（x，y を f，g で微分）：変換の向きが逆です。u(x,y) から u(f,g) の偏微分を求める時の形です。

• 連鎖律：∂u/∂x＝(∂f/∂x)(∂u/∂f)＋(∂g/∂x)(∂u/∂g)。「x を動かす→f，g が動く→u が動く」の順に掛けて足す
• 行列の形にする時は，1段目の式の係数がそのまま1行目に並ぶ
• ヤコビ行列の中身は「中の変数（f，g）を外の変数（x，y）で微分したもの」