ヤコビ行列と重積分 想定問題 3

極座標に変えて，四分円の重積分のヤコビアンと値を求める問題です。

x＝r cosθ，y＝r sinθ の偏微分は，∂x/∂r＝cosθ，∂x/∂θ＝−r sinθ，∂y/∂r＝sinθ，∂y/∂θ＝r cosθ です。

ア：ヤコビアン＝cosθ×r cosθ−(−r sinθ)×sinθ＝r(cos²θ＋sin²θ)＝r です。dxdy＝r drdθ になります。

イ：被積分関数は r²，面積の要素は r drdθ なので，積分するのは r³ です。r で 0 から 2 は 2⁴/4＝4，θ で 0 から π/2 は 4×π/2＝2π です。答えは ア r，イ 2π

• 極座標 x＝r cosθ，y＝r sinθ のヤコビアンは r。dxdy＝r drdθ。x²＋y²＝r²（テキスト・覚えること）
• 半径2の四分円なら，r は 0 から 2，θ は 0 から π/2。円全体なら θ は 0 から 2π（テキスト・覚えること）
• 極座標で，dxdy＝drdθ としない（r を掛け忘れない）（テキスト・ひっかけ）
• 四分円の θ の範囲を 0〜2π にしない（円全体の値になる）（テキスト・ひっかけ）