重積分（四分円上の x）

半径1の円の右上4分の1の領域で，x を重積分する問題です。

y の上限 √(1−x²) は円 x²＋y²＝1 の上半分なので，領域は四分円です。

先に y で積分し，そのあと x で積分します。

• y で積分：x は定数あつかいなので ∫x dy＝x×y。y に 0 と √(1−x²) を入れると x√(1−x²)
• x で積分：∫₀¹ x√(1−x²) dx
• t＝1−x² と置くと dt＝−2x dx，つまり x dx＝−dt/2。範囲は x：0→1 が t：1→0
• 積分は (1/2)∫₀¹ t^1/2 dt＝(1/2)×(2/3)×1＝1/3
• 円周率は出てきません。答えは ② 1/3

④（π/4）：x の代わりに1を積分した四分円の面積です。x≦1 を掛けているので，答えは面積より小さくなります。

①・③（π/3，π/2）：四分円の面積 π/4≒0.785 より大きく，x を掛けた値としては大きすぎます。

• y の上限が √(1−x²) なら，領域は半径1の円の一部。図をかいて形をつかむ
• x√(1−x²) のように中身の微分（−2x）が外にある形は，t＝1−x² の置き換えで解ける
• 被積分関数が1なら面積，x や y を掛けると重心に関係する量になる