ヤコビ行列と重積分 想定問題 2

三角形の領域での重積分の値が9になる，三角形の大きさ a を求める問題です。

a を残したまま，内側の y から順に積分します。領域は 0≦x≦a で，y は 0 から a−x までです。

• y で積分：∫(x＋y)dy＝xy＋y²/2 なので，x(a−x)＋(a−x)²/2＝(a²−x²)/2
• x で 0 から a まで積分：(1/2)×(a³−a³/3)＝a³/3
• a³/3＝9 より a³＝27，a＝3。答えは ②

④（9）：積分の値そのものです。a ではありません。

⑤（27）：a³ の値です。最後に3乗根をとり忘れています。

• 重積分は，内側の変数から1つずつ積分する（累次積分）。内側を積分する間，外側の変数は定数として扱う（テキスト・覚えること）
• x＝0，y＝0，x＋y＝a で囲む三角形で x＋y を積分すると a³/3（大きさを a 倍にすると値は a³ 倍）（テキスト・覚えること）