ヤコビ行列と重積分 想定問題 1

具体的な変数変換のヤコビアンを，4つの偏微分から求める問題です。

ヤコビアンは 1行目 (∂x/∂u，∂x/∂v)，2行目 (∂y/∂u，∂y/∂v) の行列式 ad−bc です。

• x＝u²−v² を微分：∂x/∂u＝2u，∂x/∂v＝−2v
• y＝2uv を微分：∂y/∂u＝2v，∂y/∂v＝2u
• 行列式＝2u×2u−(−2v)×2v＝4u²＋4v²＝4(u²＋v²)。答えは ④

①：行列式を ad＋bc と「足す」形で計算した値 4u²−4v² です。

②：偏微分の係数2を落とした値 u²＋v² です。

③：同じ行どうしを掛けた形です。行列式は，対角どうしを掛けて引きます。

• 2行2列の行列式は ad−bc（たすきがけで引く）（テキスト・覚えること）
• ヤコビアン＝(∂x/∂r)(∂y/∂s)−(∂y/∂r)(∂x/∂s)（r，s は変数の名前で，u，v でも同じ）。変数を変えると dxdy＝|ヤコビアン|drds（テキスト・覚えること）
• 行列式を「足す」形にしない（ad＋bc ではなく ad−bc）（テキスト・ひっかけ）
• 偏微分の係数（2u の 2 など）を落とさない（テキスト・ひっかけ）