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基礎科目・数学

数値積分の公式

よく出る大学

5問H28・H30・R1再・R3・R7

シンプソン法 (h/3)×(1・4・1) の公式と、2点ガウス求積・台形則で −1〜1 の積分を表す問題です。

よく出る形

  • シンプソン法の式を選ぶ
  • −1〜1 の積分を f(−1)，f(0)，f(1) などの重み付きの和で表した式のうち，正しいもの（正しくないもの）を選ぶ
  • シンプソン法で定積分の近似値を計算する
  • シンプソン法の問題と，−1〜1 の重み付きの和の問題が，年ごとに入れかわる

覚えること

  • 台形則：∫abf(x)dx ≒ {(b−a)/2}×{f(a)＋f(b)}。1次式までは正確
  • シンプソン法：等間隔 h に並ぶ3点 a，b，c で ∫acf(x)dx ≒ (h/3)×{f(a)＋4f(b)＋f(c)}。3点を通る放物線の面積で，3次式までは正確
  • −1〜1 では h＝1 なので，シンプソン法の重みは 1/3，4/3，1/3
  • 2点ガウス求積：∫−11f(x)dx ≒ f(−1/√3)＋f(1/√3)。これも3次式までは正確
  • 3点ガウス求積：{5f(−√0.6)＋8f(0)＋5f(√0.6)}/9，重みは 5/9，8/9，5/9。5次式までは正確
  • n 点のガウス求積は，(2n−1) 次までの多項式なら正確な値になる（2点なら3次，3点なら5次）
  • −1〜1 の積分：奇数乗（x，x3）は0，∫x2dx＝2/3，∫1dx＝2
  • 複合台形則の誤差は h2 に比例（h を半分にすると約1/4）
  • 複合シンプソン法（1/3公式）の誤差は h4 に比例（h を半分にすると約1/16）。3点ずつ組にするので，小区間の数は偶数

解き方

  • 両端と中点の値を出す
  • 重み 1：4：1 を掛けて足し，h/3 を掛ける
例：∫−11 1/(x＋3) dx は f(−1)＝1/2，f(0)＝1/3，f(1)＝1/4，h＝1
  • (1/3)×(1/2＋4×1/3＋1/4)＝(1/3)×(25/12)＝25/36≒0.694。いちばん近い 0.693 を選ぶ（本当の値は ln2≒0.693）
  • 式を選ぶ問題は，f(x)＝1（正しい値は2）や f(x)＝x2（正しい値は2/3）を入れて，合うかどうかで確かめる
  • 例：2点ガウス求積に f(x)＝x2 を入れると 1/3＋1/3＝2/3 で正しい。台形則 f(−1)＋f(1) では2になって合わない

ひっかけ

  • h/6 や h/4 の係数の式は誤り（f(x)＝1 を入れると 2h にならない）
  • 3点ガウス求積の正しい重みは 5/9，8/9，5/9。両端を 1/2 にした式は誤り
  • 一次関数なら，台形則・シンプソン法・中点則 2f(0) のどれでも正確。「一次関数で不適切なもの」は，重みの合計が2にならない式など
  • 重みの合計が2でも，それだけでは足りない。f(x)＝x2 も入れて 2/3 になるか見る
  • 複合シンプソン法の誤差は，h を半分にして1/8ではなく1/16（h4 に比例）
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想定問題：1・2・3

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