数値積分の公式 想定問題 3
数値積分に関する次の（ア）～（エ）の記述について，正しいものを○，誤っているものを×としたとき，最も適切な組合せはどれか。ただし，被積分関数は十分なめらかで，刻み幅 h は十分小さいとする。
（ア）区間を幅 h の小区間に分けて台形則を足し合わせる方法（複合台形則）では，h を半分にすると誤差はおよそ4分の1になる。
（イ）複合シンプソン法（1/3公式）では，3点ずつ組にして使うので，区間を分ける数（小区間の数）は偶数にする。
（ウ）複合シンプソン法（1/3公式）では，h を半分にすると誤差はおよそ8分の1になる。
（エ）n 点のガウス求積は，(2n－1) 次までの多項式なら正確な積分値を与える。
アイウエ
解説
ポイント
数値積分の誤差と，ガウス求積が正確に積分できる次数の記述の正誤を問う問題です。
考え方と解き方
複合台形則は1次式で近似するので誤差は h2 に比例します。複合シンプソン法の誤差は h4 に比例します。
ア：正しい。誤差が h2 に比例するので，h を半分にすると (1/2)2＝1/4 になります。
イ：正しい。端・まん中・端の3点で小区間2つ分を1組にするので，小区間の数は偶数にします。
ウ：誤り。誤差は h4 に比例するので，h を半分にすると (1/2)4＝1/16 です。8分の1ではありません。
エ：正しい。点の位置と重みの両方を選んでいるので，2点なら3次，3点なら5次まで正確です。答えは ア ○，イ ○，ウ ×，エ ○
覚えておくこと
- n 点のガウス求積は，(2n−1) 次までの多項式なら正確な値になる（2点なら3次，3点なら5次）（テキスト・覚えること）
- 複合台形則の誤差は h2 に比例（h を半分にすると約1/4）（テキスト・覚えること）
- 複合シンプソン法（1/3公式）の誤差は h4 に比例（h を半分にすると約1/16）。3点ずつ組にするので，小区間の数は偶数（テキスト・覚えること）
- 複合シンプソン法の誤差は，h を半分にして1/8ではなく1/16（h4 に比例）（テキスト・ひっかけ）
類似する過去問：令和7年度 基礎科目 I-3-3、令和3年度 基礎科目 I-3-2
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