3次関数の積分（ガウス求積）

−1 から 1 までの3次式の積分と，いつも同じ値になる式を見つける問題です。

左右対称な範囲の積分では，奇数乗の項（x³，x）は打ち消し合って 0 になります。

残るのは x² の項と定数だけなので，b と d の係数が合うかだけを見れば足ります。

• 正しい値：∫x²dx＝2/3，∫1dx＝2 なので，積分は (2/3)b＋2d
• f(−p)＋f(p) も奇数乗が消えて，2(bp²＋d) になる
• ①：2f(0)＝2d。b の項がない
• ②：p²＝1/3 なので 2(b/3＋d)＝(2/3)b＋2d。一致する
• ③：p＝1 で 2b＋2d。b の項が大きすぎる
• ④：p²＝3/5 で，(3/5)b＋d＋(8/9)d。合わない
• ⑤：(b＋d)＋d＝b＋2d。合わない。答えは ②

④（3点の式）：3点のガウス求積に似た形ですが，正しい重みは 5/9，8/9，5/9 です。両端の重み 1/2 が合いません。

⑤（両端 1/2，中 1）：シンプソン則に見えますが，正しい重みは 1/3，4/3，1/3 です。

• 左右対称な範囲 [−a, a] の積分では，奇数乗の項は 0 になる
• 2点ガウス求積：±√(1/3) の2点の値の和で，3次式まで正しく積分できる
• ∫₋₁¹x²dx＝2/3，∫₋₁¹1dx＝2 を覚えておくと速い