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基礎科目・設計・品質管理

期待値と総コスト最小

よく出る高校

6問H29・H30・R1・R1再・R4

「損失の期待値＋かかる費用」を最小にする安全率や発注量，期待値でよい計画案を選ぶ計算が出ます。

よく出る形

  • 損傷する確率が安全率 x で変わるとき，期待損失額と製造コストの合計を最小にする x を求める
  • 検査回数や発注量を選んで，費用の合計を最小にする
  • 将来の条件ごとの確率と便益の表から，「期待便益 − 費用」が最大の案を選ぶ
  • 毎回，式の形や求めるものが変わる。数字だけの入れ替えはほぼない

覚えること

  • 期待値 ＝（起きる確率 × そのときの金額）の合計。確率の合計は1
  • 期待損失額 ＝ 損傷が起きる確率 × 損失額
  • 総コスト ＝ 期待損失額 ＋ 製造コスト。一方が増えると他方が減るので，ちょうどよい所で最小になる
  • 最小の所では，微分（グラフの傾き）が0になる
  • 経済的発注量：q ＝ √(2kd ÷ h)（k：1回の発注費用，d：年間の需要，h：1個を1年持つ費用）。このとき発注費用と在庫維持費用が等しい
  • 年間の発注費用 ＝ 1回の発注費用 × 発注回数。在庫維持費用 ＝ 1個の維持費用 × 平均在庫量（q ÷ 2）
  • 期待値基準：確率をかけて足した値が最大の案を選ぶ。平均的にいちばん得な案
  • マクシミン基準：各案の最悪の場合の利益をくらべ，それが最大の案を選ぶ。確率は使わない慎重な選び方

解き方

  • 総コストを x（または q）の式にする
  • 微分して0とおき，x を求める。微分が苦手なら，選択肢の値を全部代入してくらべてもよい
  • 例：損傷確率 1/(1＋x)，損失 9億円，製造コスト x億円 → C(x) ＝ 9/(1＋x) ＋ x。微分して0とおくと (1＋x)2 ＝ 9，1＋x ＝ 3 より x ＝ 2
  • 確かめ：x ＝ 2 で 3 ＋ 2 ＝ 5億円，x ＝ 3 で 2.25 ＋ 3 ＝ 5.25億円。x ＝ 2 のほうが小さい
  • 計画案を選ぶ問題は，案ごとに「利益 × 確率」を足して期待値を出し，くらべる。表が便益（費用を引く前）なら，費用を引いてからくらべる

ひっかけ

  • 便益の期待値だけで選ばない。費用を引いた値でくらべる
  • (1＋x)2 ＝ 9 から x ＝ 3 にしない。1＋x ＝ 3 なので x ＝ 2（「1＋」を忘れない）
  • 最小の費用を問われたら，発注量 q を答えにしない。q を式に戻して費用を出す
  • 平均在庫量は q ではなく q ÷ 2
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想定問題：1・2・3

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