期待値と総コスト最小 想定問題 1
ある構造部材の安全率をx（x≧1）とする。この部材が損傷する確率は1/(1＋2x)，損傷したときの経済的な損失額は32億円であり，期待損失額は損傷する確率と損失額の積で表される。一方，この部材の製造コストは4x億円である。期待損失額と製造コストを足した総コストが最も小さくなるのは，安全率xがいくつのときか。最も適切なものを選べ。
解説
ポイント
安全率 x を上げると製造コストは増え，損失の期待値は減ります。その合計が最小になる x を求める問題です。
考え方と解き方
総コスト ＝ 期待損失額 ＋ 製造コスト を x の式にして，微分して0とおきます。
期待損失額は，損傷する確率 × 損失額です。
- 総コスト：C(x) ＝ 32/(1＋2x) ＋ 4x［億円］
微分：C'(x) ＝ −64/(1＋2x)2 ＋ 4
- C'(x) ＝ 0 とおくと (1＋2x)2 ＝ 16，1＋2x ＝ 4 より x ＝ 1.50
- 確かめ：x ＝ 1.50 で 8 ＋ 6 ＝ 14.00億円。x ＝ 1.20 は約14.21億円，x ＝ 2.00 は14.40億円で，どちらも高い。答えは ③ 1.50
ほかの選択肢
④（2.00）：(1＋2x)2 ＝ 16 から 2x ＝ 4 として，「1＋」を忘れると出る値です。
覚えておくこと
- 総コスト ＝ 期待損失額 ＋ 製造コスト。一方が増えると他方が減るので，ちょうどよい所で最小になる（テキスト・覚えること）
- 最小の所では，微分（グラフの傾き）が0になる（テキスト・覚えること）
- (1＋x)2 ＝ 9 から x ＝ 3 にしない。1＋x ＝ 3 なので x ＝ 2（「1＋」を忘れない）（テキスト・ひっかけ）
類似する過去問：令和4年度 基礎科目 I-1-4、令和元年度（再試験） 基礎科目 I-1-5
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