総コストを最小にする安全率

期待損失額と製造コストを足した総コストを式にして，微分で最小になる安全率を求める問題です。

総コスト C(x)＝90/(1＋4x)＋10x（億円）です。

いちばん小さくなる所では，傾き（微分）が0になります。

• 期待損失額＝（損傷する確率）×（損失額）＝90/(1＋4x)
• C(x)＝90(1＋4x)^－1＋10x と書いて x で微分します
• (1＋4x)^－1 の微分は －4(1＋4x)^－2 なので，C′(x)＝－360/(1＋4x)²＋10
• C′(x)＝0 とおくと，(1＋4x)²＝360÷10＝36
• 1＋4x＞0 なので 1＋4x＝6，よって x＝5/4＝1.25（x≧1 を満たす）
• 確かめ：x＝1.00 なら C＝18＋10＝28.0，x＝1.25 なら C＝15＋12.5＝27.5，x＝1.50 なら C＝90/7＋15≒27.9。答えは ② 1.25

①（1.00）：安全率を下げると製造コストは安くなりますが，壊れる確率が上がって期待損失額が増え，合計は 28.0 億円で 1.25 の時より大きくなります。

⑤（2.00）：丈夫にしすぎると期待損失額は減っても製造コストが 20 億円に増え，合計は 30.0 億円になります。

• 期待損失額＝（損傷が生じる確率）×（損失額）
• 総コスト＝期待損失額＋製造コスト。最小にする x は，微分して0とおいて求める
• a/(1＋bx)＋cx の形なら，微分して0とおくと (1＋bx)²＝ab/c になる
• 微分で出した x が，問題の条件（x≧1 など）を満たすか確かめる