基礎科目・力学
トルクと歯車
3問R4・R5・R6
τ＝Iα と「動力＝トルク×角速度は変わらない」を使って、円盤の加速や歯車・変速機のトルクを求める問題です。
よく出る形
- 円盤を一定の角加速度で加速するのに必要なトルク
- 減速機を通した時に，モータが出すトルク
- 速度伝達比のある歯車の，出力の回転数とトルク
- 毎回，求めるもの（円盤のトルク，減速機ごしのトルク，出力の回転数とトルク）が変わる。数字だけの入れ替えはほぼない
覚えること
- τ ＝ Iα（τ はトルク，I は慣性モーメント＝回しにくさ，α は角加速度）。F ＝ ma の回転版
- α ＝ (ω2 − ω1)/T（角速度の増え方 ÷ 時間）
- 動力 P ＝ τω。効率が 100% なら，入力と出力の動力は同じ
- 回転を 1/n に落とす（減速比 n）と，トルクは n 倍になる
- 効率 η の歯車では，出ていく動力 ＝ η × 入ってくる動力。段を重ねると，減速比も効率もかけ算（2段なら n1n2 と η2）
- 出力トルク ＝ 入力トルク × 減速比 × 全体の効率。出力の回転速度 ＝ 入力の回転速度 ÷ 減速比
- 回転の運動エネルギーは (1/2)Iω2。角速度の2乗に比例する
- 中身の詰まった円盤は I ＝ (1/2)mr2，細い円環は I ＝ mr2（m は質量，r は半径）。質量が軸から遠いほど I は大きい
解き方
- 円盤に必要なトルク τ ＝ I × (ω2 − ω1)/T を出す
- 減速機があれば，モータ側は τ ÷ n でよい（τω が同じだから）。効率があれば，その分を考える
- 例：I ＝ 2 kg・m2 の円盤を 10 rad/s から 30 rad/s まで 4 s で加速，減速比 n ＝ 5 → α ＝ 5 rad/s2，円盤側 τ ＝ 10 N・m，モータ側 10 ÷ 5 ＝ 2 N・m
- 速度伝達比 30 なら，入力が 30 回転する間に出力は 1 回転。出力のトルクは入力の約 30 倍
- 歯車を重ねる問題は，1段ずつ「回転速度 ÷ 減速比」「トルク × 減速比 × 効率」を順に出す
ひっかけ
- I(ω2 − ω1) は角運動量の変化。T で割らないとトルクにならない
- I(ω22 − ω12)/2 はエネルギーで，トルクではない
- 減速するとトルクは小さくなる，と考えない。大きくなる
- 運動エネルギーは角速度に比例しない。2乗に比例する
- 同じ質量・半径なら，慣性モーメントが大きいのは円盤ではなく円環