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基礎科目・数学

逆行列

大学

4問H25・H30・R5・R7

対角が1の三角行列の逆行列を、選択肢を掛けて単位行列になるかで確かめる問題が中心です。

よく出る形

  • 3行3列の下三角行列・上三角行列の逆行列を選ぶ
  • 2行2列の逆行列の公式を選ぶ
  • 三角行列の逆行列が中心。そこに，2行2列の公式を選ぶ問題がまざる

覚えること

  • 逆行列 A−1 は，A に掛けると単位行列 E（対角が1，ほかが0）になる行列
  • 行列の掛け算の「i行j列」は，左の行列の i 行目と，右の行列の j 列目を順に掛けて足したもの
  • 2行2列 A＝(a, b ／ c, d) の逆行列は {1/(ad−bc)}×(d, −b ／ −c, a)。ad−bc（行列式）が0なら逆行列はない
  • 下三角行列の逆行列は下三角，上三角なら上三角。対角が1なら，逆行列の対角も1
  • A＝(1, p, q ／ 0, 1, r ／ 0, 0, 1) の逆行列は (1, −p, pr−q ／ 0, 1, −r ／ 0, 0, 1)。すぐ上の成分は符号が逆，角は pr−q
  • 逆行列があるかどうかは，行列式 ad−bc が0かどうかで決まる（対角に0があるかどうかでは決まらない）
  • 積の逆行列：(AB)−1＝B−1A−1。順番が逆になる
  • 行列式は積を保つ：det(AB)＝det(A)×det(B)。det(A)×det(A−1)＝1 なので，det(A−1)＝1/det(A)
  • 対角行列（対角以外が0）の逆行列は，対角の数を逆数にしたもの

解き方

  • 形で選択肢をしぼる（下三角の問題なら，上三角の選択肢は外す）
  • 残った選択肢 X について A×X を計算し，対角以外が全部0になるかを確かめる。0にならない所が1つでも出たら外す
  • 例：A＝(1, 0, 0 ／ a, 1, 0 ／ b, c, 1)，X＝(1, 0, 0 ／ −a, 1, 0 ／ ac−b, −c, 1) を確かめる
  • 2行1列：a×1＋1×(−a)＝0。3行1列：b×1＋c×(−a)＋1×(ac−b)＝0。3行2列：c×1＋1×(−c)＝0。対角は全部1なので，X が逆行列
  • 2行2列の数値例：A＝(2, 1 ／ 5, 3) なら ad−bc＝6−5＝1 で，A−1＝(3, −1 ／ −5, 2)
  • 確かめ：1行1列は 2×3＋1×(−5)＝1，1行2列は 2×(−1)＋1×2＝0
  • 逆行列がない k を求める時は，行列式を k の式にして，0になる k を解く

ひっかけ

  • すぐ下の成分（a，c）の符号だけ変えて，角を b や ac＋b にした選択肢（掛けると 2b などが残る）
  • 2行2列の公式で，a と d を入れかえずに，b と c の符号だけ変えた式
  • 積の逆行列を A−1B−1 の順にしない（正しくは B−1A−1）
  • 対角の成分が0でなくても，行列式が0なら逆行列はない。行列式が0になる値は，全部出す
  • 上三角行列で，すぐ上の成分（p，r）の符号だけ変えて，角を −q や pr＋q にした選択肢（掛けると −pr や 2q が残る）
このテーマの想定問題を解く

想定問題：1・2・3

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