下三角行列の逆行列

下三角行列の逆行列を，選択肢を掛けて確かめて選ぶ問題です。

逆行列は，もとの行列に掛けると単位行列（対角が1，ほかが0）になる行列です。

行列の掛け算の i行j列は，左の i行と右の j列を順に掛けて足したものです。

• A は対角より上が0の下三角行列なので，逆行列も下三角です。上三角の③は外れます
• ④を X として A×X を計算します。X の列は，1列目 (1，−a，ac−b)，2列目 (0，1，−c)，3列目 (0，0，1)
• 1行目：A の1行目が (1，0，0) なので，X の1行目そのまま (1，0，0)
• 2行1列：a×1＋1×(−a)＋0＝0。2行2列：1。2行3列：0

• 3行2列：c×1＋1×(−c)＝0。3行3列：1
• 単位行列になりました。答えは ④

①（ac＋b）：3行1列が b−ac＋ac＋b＝2b となり，0になりません。角の成分の補正の符号がちがいます。

②・⑤（2行目が a）：2行1列が a＋a＝2a となり，0になりません。対角のすぐ下は符号が逆になります。

• 逆行列を選ぶ問題は，候補を掛けて単位行列になるかで確かめる
• 下三角行列の逆行列も下三角。対角が1なら，対角のすぐ下の成分は符号が逆になる
• 角の成分には ac−b のように，2段ぶんの打ち消しの補正が入る