基礎科目・数学
有限要素と面積座標
5問H23・H25・H28・R2・R3
有限要素法の三角形・四辺形要素の性質（ひずみが一定かどうか）と、三角形の面積座標（重心・内心・外心）を問う問題です。
よく出る形
- 要素内でひずみが一定になる要素を選ぶ
- 4節点四辺形要素の性質や形状関数を問う
- 三角形の中の点（重心，内心，外心）の面積座標を求める
- 要素の性質（ひずみ・形状関数）の問題と，面積座標の問題が，年ごとに入れかわる
覚えること
- ひずみは，変位（どれだけ動いたか）を位置で微分したもの
- 3節点三角形要素：変位を1次式 a＋bx＋cy で表す。微分すると定数なので，要素内でひずみは一定（定ひずみ要素，CST）
- 6節点三角形要素：変位は2次式で，ひずみは要素内で変わる
- 4節点四辺形要素：変位は a＋bx＋cy＋dxy（双1次）。xy の項があるので，ひずみは一定にならない
- 面積座標：点Pで三角形を3つに分け，各頂点の向かいにできる小さな三角形の面積を，全体の面積で割った3つの数。合計は必ず1
- SA＝△PBC，SB＝△PCA，SC＝△PAB の面積。SA に対応するのは，Aの向かいの辺 BC
- 重心は (1/3, 1/3, 1/3)
- 内心は「向かいの辺の長さの比」（内接円の半径が共通なので，面積が辺の長さに比例する）
- 直角三角形の外心は，斜辺の中点。斜辺の向かいの頂点の成分は0になる
- 点Pの座標＝LA×A＋LB×B＋LC×C（x と y を別々に計算）。L が大きい頂点ほど，Pはその頂点に近い
- 形状関数 Ni：節点 i の値に掛ける重みの関数。要素の中の変位は u＝N1u1＋N2u2＋…
- 形状関数は，自分の節点で1，ほかの節点で0。どの点でも，全部足すと1
- 3節点三角形要素の形状関数は x，y の1次式で，面積座標と同じもの
- アイソパラメトリック要素：要素の形（座標）と要素の中の変位を，同じ形状関数で表す
解き方
- 例：AB：BC：CA＝3：4：5 の△ABC の内心と外心。32＋42＝52 なので，角Bが直角の直角三角形
- 内心：Aの向かいは BC＝4，Bの向かいは CA＝5，Cの向かいは AB＝3。合計12で割って (4/12, 5/12, 3/12)＝(1/3, 5/12, 1/4)
- 外心：斜辺 CA の中点。CA の上にあるので，Bの向かいの△PCA の面積は0。残りは半分ずつで (1/2, 0, 1/2)
- 座標から求める時：L の重みを x，y それぞれにかけて足す。面積で確かめるなら，小さな三角形の面積を全体の面積で割る
- 例：A(0, 0)，B(4, 0)，C(0, 8)，面積座標 (1/2, 1/4, 1/4) → x＝1/4×4＝1，y＝1/4×8＝2 で P(1, 2)
- 形状関数の正誤は，節点 i の上で u が ui になるか，全節点が同じ値 c のとき要素の中も c になるかで考える
ひっかけ
- 合計が1にならない組（例 (1/4, 1/5, 1/3)）は，面積座標ではない
- (1/3, 1/3, 1/3) は重心で，内心や外心ではない
- 節点が多い要素ほど精度は上がるが，ひずみは一定でなくなる
- 形状関数は「自分の節点で0，ほかで1」ではなく「自分の節点で1，ほかで0」
- 内心の順番は，辺の並び AB：BC：CA ではなく，頂点の向かいの辺（A→BC，B→CA，C→AB）の順
このテーマの過去問（このサイトに解説がある 2問）
平成に出た同じテーマ（3問）
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- 平成28年度四角形要素の形状関数
- 平成25年度三角形要素の面積座標
- 平成23年度4節点四辺形要素の性質