面積座標（内心と外心）

直角三角形の内心と外心を，面積座標（3つの小さな三角形の面積の割合）で表す問題です。

3辺の比が 3：4：5 なので直角三角形で，いちばん長い CA が斜辺，角 B が直角です。

内心は3辺から等しい距離 r にある点，外心は直角三角形では斜辺の中点です。

• 全体の面積：AB＝3，BC＝4 を直角をはさむ2辺として S＝3×4÷2＝6
• 内心：高さがどれも r なので，S_A＝4r/2，S_B＝5r/2，S_C＝3r/2
• 3つの和が S＝6 なので 6r＝6，r＝1。面積座標は (2/6, 2.5/6, 1.5/6)＝(1/3, 5/12, 1/4)
• 外心：斜辺 CA の中点なので，△PCA はつぶれて S_B＝0
• P が CA の中点なので，△PAB と △PBC は面積が半分ずつ。面積座標は (1/2, 0, 1/2)。答えは 内心 (1/3, 5/12, 1/4)，外心 (1/2, 0, 1/2)

• 面積座標：3つの成分の和は 1。重心は (1/3, 1/3, 1/3)。重心と外心を取りちがえない
• 内心の面積座標は，各頂点の向かいの辺の長さの比（この問題では 4：5：3 を 12 で割る）
• 直角三角形の外心は斜辺の中点。斜辺上の点なので，1つの成分が 0 になる