有限要素と面積座標 想定問題 1

辺の比が分かっている三角形で，内心と外心の面積の比 S_A：S_B：S_C を求める問題です。

内心は，3辺から同じ距離 r にあります。小さな3つの三角形の面積は，底辺の長さに比例します。

• 5²＋12²＝13² なので，斜辺 AB の直角三角形（角Cが直角）
• 内心：S_A（△PBC）は BC×r÷2，S_B（△PCA）は CA×r÷2，S_C（△PAB）は AB×r÷2。比は BC：CA：AB＝5：12：13
• 外心：斜辺 AB の中点。△PAB がつぶれて S_C＝0。△PBC と△PCA は面積が等しく，比は 1：1：0
• 内心は 5：12：13，外心は 1：1：0。答えは ⑤

①：内心を AB：BC：CA の順に並べた形です。S_A に対応するのは，Aの向かいの辺 BC です。

④：内心の並べ方が①と同じです。外心を 1：0：1 としたのは，斜辺を CA とまちがえた形です。

②・③：1：1：1 は重心です。内心でも外心でもありません。

• S_A＝△PBC，S_B＝△PCA，S_C＝△PAB の面積。S_A に対応するのは，Aの向かいの辺 BC（テキスト・覚えること）
• 内心は「向かいの辺の長さの比」（内接円の半径が共通なので，面積が辺の長さに比例する）（テキスト・覚えること）
• 直角三角形の外心は，斜辺の中点。斜辺の向かいの頂点の成分は0になる（テキスト・覚えること）
• 内心の順番は，辺の並び AB：BC：CA ではなく，頂点の向かいの辺（A→BC，B→CA，C→AB）の順（テキスト・ひっかけ）