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基礎科目・数学

差分とニュートン法

よく出る大学

6問H24・H26・H29・H30・R4・R6

導関数を格子点の値の差で表す差分の式と、ニュートン法の更新式 Δx＝−f/f′ を見分ける問題です。

よく出る形

  • df/dx の差分表現として誤っているものを選ぶ
  • 2階導関数 d2f/dx2 の中心差分の式を選ぶ
  • ニュートン法のフローチャートの空欄を埋める
  • 差分の式を見分ける問題と，ニュートン法のフローチャートの問題が，くり返し出る

覚えること

  • fi は格子点 xi での値，Δ（h と書くことも）は格子の幅
  • 1階導関数：前進差分 (fi+1−fi)/Δ，後退差分 (fi−fi−1)/Δ，中心差分 (fi+1−fi−1)/(2Δ)
  • (3fi−4fi−1＋fi−2)/(2Δ) も1階導関数（2次精度の後退差分）
  • 2階導関数の中心差分：(fi+1−2fi＋fi−1)/Δ2。「1，−2，1」の並び
  • ニュートン法：xn+1＝xn−f(xn)/f′(xn)。接線と x 軸の交点を次の値にする
  • ニュートン法の終わりの判定：|Δx|＜ε（動きが十分小さくなったら終わり）
  • ニュートン法は毎回，いまの xn で f と f′ を計算し直す。解の近くでは，合う桁数が1回ごとにおよそ2倍になり，収束が速い
  • 精度の次数：前進差分・後退差分は1次精度（誤差が Δ の1乗に比例），中心差分は2次精度（誤差が Δ2 に比例）
  • Δ を半分にすると，誤差は1次精度で約1/2，2次精度で約1/4
  • テイラー展開 f(x±h)＝f(x)±hf′(x)＋(h2/2)f″(x)±…。前進差分の誤差の先頭は (h/2)f″。中心差分は h2 の項が打ち消し合い，先頭は (h2/6)f‴

解き方

  • 分母を見る。Δ か 2Δ なら1階，Δ2 なら2階
  • 迷ったら f＝x（傾きは1）を入れて確かめる。xi＝0 とすると fi＝0，fi+1＝Δ，fi−1＝−Δ，fi−2＝−2Δ
  • 例：(3×0−4×(−Δ)＋(−2Δ))/(2Δ)＝2Δ/(2Δ)＝1 なので，1階の式として正しい
  • 例：(Δ−0＋(−Δ))/Δ2＝0 で傾き1が出ないので，1階の式ではない（2階の式）
  • ニュートン法の数値例：f(x)＝x2−2，x0＝1 のとき f＝−1，f′＝2x＝2 なので Δx＝0.5，x1＝1.5
  • 次は f＝0.25，f′＝3 なので Δx≒−0.083，x2≒1.417（√2≒1.414 に近づく）
  • 誤差の次数の数値例：f＝x3，x＝1（正しい傾きは3）。前進差分の誤差は Δ＝0.1 で0.31，Δ＝0.05 で0.1525（約1/2）。中心差分は0.01と0.0025（1/4）

ひっかけ

  • 「1，−2，1」の並びは2階導関数の合図。df/dx の選択肢に混ざっていたら，それが誤り
  • ニュートン法で，分子と分母を逆にした −f′/f や，掛け算の −f×f′ にしない
  • |Δx|＞ε で終わりにしない（まだ大きく動いているのに止まってしまう）
  • 中心差分を1次精度にしない（2次精度）
  • ニュートン法で，f′ を最初の値のまま使い続けない（毎回計算し直す）
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想定問題：1・2・3

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