導関数の差分表現

1階の導関数 df/dx を，となりの点の値の差で近似する「差分」の式のうち，正しくないものを見つける問題です。

傾きは「f の変化 ÷ x の変化」なので，1階の差分式は「f の差 ÷ Δ（または 2Δ）」の形になります。

分母が Δ² なら，それは 2階の導関数（傾きの変化）の式です。

①：右どなりとの差 ÷ Δ。前進差分で，1階の正しい式です。

⑤：左どなりとの差 ÷ Δ。後退差分で，1階の正しい式です。

③：左右の点の差 ÷ 2Δ。中心差分で，1階の正しい式です。

②：左側の 2点を使う 2次精度の後退差分です。f＝x（傾き 1）を入れて確かめると，x_i＝0 として f_i＝0，f_i−1＝−Δ，f_i−2＝−2Δ。分子は 0＋4Δ−2Δ＝2Δ，2Δ÷2Δ＝1 で，傾き 1 が出るので正しい式です。

④：同じく f＝x を入れると分子は Δ−0−Δ＝0 で，傾き 1 になりません。分母も Δ² で，これは 2階の導関数の式です。答えは ④

②（3，−4，1 の式）：見慣れない形なので誤りと思いやすいですが，f＝x で 1 が出る 1階の正しい式です。

• 分母が Δ なら 1階，Δ² なら 2階の差分式
• 「1，−2，1」の並びは 2階導関数の合図
• 前進差分（右の点），後退差分（左の点），中心差分（両側の点）。中心差分の方が精度が高い
• 迷ったら f＝x（傾き 1）を入れて，1 が出るかで確かめる