差分とニュートン法 想定問題 3

前進差分と中心差分の誤差が，格子の幅 h の何乗に比例するかを問う問題です。

テイラー展開で，差分の式と本当の傾き f′ とのずれ（誤差）の先頭の項を見ます。

ア：前進差分は f′＋(h/2)f″＋… となります。f′ とのずれの先頭は (h/2)f″ なので，誤差は h の1乗に比例します（1次精度）。

イ：中心差分は，h² の項が打ち消し合って f′＋(h²/6)f‴＋… となります。誤差は h の2乗に比例します（2次精度）。

ウ：h を半分にすると，h² は (1/2)²＝1/4 になります。中心差分の誤差はおよそ1/4倍です。答えは ア 1，イ 2，ウ 1/4

• 精度の次数：前進差分・後退差分は1次精度（誤差が Δ の1乗に比例），中心差分は2次精度（誤差が Δ² に比例）（テキスト・覚えること）
• Δ を半分にすると，誤差は1次精度で約1/2，2次精度で約1/4（テキスト・覚えること）
• テイラー展開 f(x±h)＝f(x)±hf′(x)＋(h²/2)f″(x)±…。前進差分の誤差の先頭は (h/2)f″。中心差分は h² の項が打ち消し合い，先頭は (h²/6)f‴（テキスト・覚えること）
• 中心差分を1次精度にしない（2次精度）（テキスト・ひっかけ）