差分とニュートン法 想定問題 2

ニュートン法を2回まわして，近似値 x₁，x₂ を求める問題です。

更新式は x_n+1＝x_n−f(x_n)/f′(x_n) です。f(x)＝x²−3，f′(x)＝2x です。毎回，いまの x_n で f と f′ を計算し直します。

• 1回目：x₀＝2 で f＝4−3＝1，f′＝2×2＝4。Δx＝−1/4＝−0.25，x₁＝1.75
• 2回目：x₁＝1.75 で f＝3.0625−3＝0.0625，f′＝2×1.75＝3.5

• 小数第5位を四捨五入して x₂≒1.7321（√3≒1.73205 に近い）。答えは ④

①：Δx の符号を逆にした値です。2.25，2.7083 と，解から遠ざかります。

②：Δx＝−f′/f と，分子と分母を逆にした値です。−2 と 2 を行き来して，解に近づきません。

③：2回目も f′ を最初の f′(2)＝4 のまま使った値です（1.75−0.0625/4≒1.7344）。

• ニュートン法：x_n+1＝x_n−f(x_n)/f′(x_n)。接線と x 軸の交点を次の値にする（テキスト・覚えること）
• ニュートン法は毎回，いまの x_n で f と f′ を計算し直す。解の近くでは，合う桁数が1回ごとにおよそ2倍になり，収束が速い（テキスト・覚えること）
• ニュートン法で，分子と分母を逆にした −f′/f や，掛け算の −f×f′ にしない（テキスト・ひっかけ）
• ニュートン法で，f′ を最初の値のまま使い続けない（毎回計算し直す）（テキスト・ひっかけ）