基礎科目・電気・電磁気
対称な回路の合成抵抗
4問H29・R5・R6・R7
同じ抵抗を格子・ひし形・正四面体につないだ回路で、対称性を使って合成抵抗を出し、大小を比べる問題です。
よく出る形
- 同じ導線で作った3つの回路（ます目・ひし形）の合成抵抗の大小（令和5年度，平成29年度。同じ問題）
- 1Ω を8本つないだ対称な回路の合成抵抗（令和6年度）
- 正四面体の形の回路3種類の合成抵抗の大小（令和7年度）
- 回路の形が変わる。令和5年度と平成29年度は同じ問題がそのまま出た。対称性を使う考え方は同じ
覚えること
- 直列 R＝R1＋R2，並列 1/R＝1/R1＋1/R2（同じ R が n 本なら R/n）
- 電流は電位（電気の高さ）の差がある所にだけ流れる
- A と B から見て対称な位置にある点は，同じ電位。同じ電位の点を結ぶ抵抗には電流が流れないので，取り去っても（つないでも）結果は同じ
- 4辺が同じひし形のブリッジは平衡していて，まん中の線は無視できる
- 導線の中点で分けると，半分ずつ R/2 になる
- ブリッジの平衡条件：橋わたしの抵抗をはさんで，向かい合う辺の抵抗のかけ算が等しい。平衡なら橋の抵抗は外しても，両端を1点にまとめても同じ
- 立方体の最も離れた頂点の間：5R/6（となり合う頂点の間は 7R/12）
- 立方体は対称な点を組に分け，「3本並列 → 6本並列 → 3本並列」と数える。R/3 ＋ R/6 ＋ R/3 ＝ 5R/6
解き方
- A に電圧 V，B に 0 をかけたと考える
- 対称な位置にある点を探し，同じ電位としてまとめる（または間の抵抗を外す）
- 直列・並列で計算する（同じ電位の点を外したら，道ごとに足してから並列にする）
- 例：ひし形の左端 a，右端 b，上 T，下 B，中央 C。a−T−b，a−C−b，a−B−b と，縦の T−C，C−B に各1Ω（令和6年度）
- 上の例：T，C，B は左右対称でどれも電位 V/2 → 縦の2本は電流0なので外す。2Ω の道が3本並列で 2÷3＝2/3 Ω
- 例：正四面体で A と B が隣り合う頂点（令和7年度）→ 直接の R と，ほかの頂点を通る 2R の道が2本。1/Ra＝1/R＋1/(2R)＋1/(2R)＝2/R なので Ra＝R/2
- 例：4辺 r のひし形に対角線1本（令和5年度）→ 平衡ブリッジで対角線を外し，2r の道が2本並列で r
- 例：立方体の最も離れた頂点の間が 5 Ω → 5R/6＝5 より R＝6 Ω
ひっかけ
- まん中の道を数え忘れない（忘れると 1Ω になる）
- 直列の足し算を忘れて，1Ω を3本並列（1/3 Ω）としない。道ごとに直列を足してから並列にする
- A と B が離れているほど合成抵抗は大きくなる。大小を逆に並べない
- 立方体で，まん中の6本を数え忘れない（3本ではなく6本並列）
- ブリッジの平衡条件は，かけ算の比を逆にしない。向かい合う辺どうしをかける
このテーマの過去問（このサイトに解説がある 3問）
平成に出た同じテーマ（1問）
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- 平成29年度導線網の合成抵抗