正四面体の抵抗回路

正四面体に組んだ導線のAB間の合成抵抗を3通りのつなぎ方で求め，大小を比べる問題です。

AとBに対して対称な位置にある2点は同じ電位なので，その間の導線は電流が流れず，無いものとして扱えます。

中点で分けた導線は R/2 ずつです。直列は足し算，並列2本は「積÷和」です。

• （a）AとBは隣の頂点。残り2頂点は対称で同電位なので，その間の導線は電流0です
• 直接のR，左回りの2R，右回りの2Rの3本の並列で，1/R_a＝1/R＋1/(2R)＋1/(2R)＝2/R。R_a＝R/2＝4R/8
• （b）Aは頂点，Bは向かいの辺の中点。その辺の両端は対称で同電位なので1点Pとみなします
• A→Pは，直接2本の並列R/2と，残りの頂点を回る道 R＋R/2＝3R/2 の並列で，(R/2×3R/2)÷(R/2＋3R/2)＝3R/8
• P→Bは R/2 が2本の並列で R/4。R_b＝3R/8＋2R/8＝5R/8
• （c）AもBも向かい合う辺の中点。電流Iは対称に分かれ，A→頂点（R/2にI/2），頂点→頂点（RにI/4），頂点→B（R/2にI/2）の電圧はどれも IR/4
• AB間の電圧は IR/4×3＝3IR/4 なので，R_c＝3R/4＝6R/8
• 分母を8にそろえると 4R/8＜5R/8＜6R/8。答えは ⑤（R_a＜R_b＜R_c）

• 立体の抵抗回路は「対称な点は同じ電位 → その間の導線は無視」で簡単になる
• 並列2本の合成抵抗は（積）÷（和），直列は足し算
• AとBが離れているほど合成抵抗は大きくなる