対称な回路の合成抵抗 想定問題 2

立方体の12本の辺に同じ抵抗をつないだ回路で，最も離れた頂点の間の合成抵抗から，1本の抵抗値 R を逆に求める問題です。

A から見て同じ位置にある点は同じ電位です。まとめて，何本が並列になるかを数えます。

• 頂点を組に分ける：A のとなりの3点（組1），B のとなりの3点（組2），A，B
• A から組1：3本並列で R/3
• 組1から組2：6本並列で R/6
• 組2から B：3本並列で R/3
• 合成抵抗：R/3 ＋ R/6 ＋ R/3 ＝ 5R/6。辺の数は 3＋6＋3＝12 本で合っている
• 5R/6 ＝ 5 Ω より R ＝ 6 Ω。答えは ③ 6 Ω

①（約1.7 Ω）：3本の辺をたどる1本道（3R）だけで 5 Ω になると考えた値です。

②（5 Ω）：まん中の組の間も3本並列（R/3）と数え，合成抵抗を R とした値です。実際は6本です。

④（7.5 Ω）：まん中の6本を数え忘れ，2R/3 とした値です。

⑤（約8.6 Ω）：となり合う頂点の間の合成抵抗 7R/12 を使った値です。求める2点がちがいます。

• A と B から見て対称な位置にある点は，同じ電位。同じ電位の点を結ぶ抵抗には電流が流れないので，取り去っても（つないでも）結果は同じ（テキスト・覚えること）
• 立方体の最も離れた頂点の間：5R/6（となり合う頂点の間は 7R/12）（テキスト・覚えること）
• 立方体は対称な点を組に分け，「3本並列 → 6本並列 → 3本並列」と数える。R/3 ＋ R/6 ＋ R/3 ＝ 5R/6（テキスト・覚えること）
• 立方体で，まん中の6本を数え忘れない（3本ではなく6本並列）（テキスト・ひっかけ）