導線網の合成抵抗の大小

同じ導線で組んだ3つの回路の合成抵抗を，対称性を使って比べる問題です。

直列は足し算，並列は同じ抵抗2本なら半分です。

電位が同じ点どうしは，つないでも外しても電流が変わらないので，まとめたり消したりできます。

• (c)：ひし形の4辺が同じ r なので，上下の頂点は同じ電位。対角線には電流が流れず外せます。2r と 2r の並列で R_c＝r
• (b)：A を電位1，B を0とします。A から2本目にある3点（角2つと中心）は対称で，どれも電位0.5
• A→となりの2点は r が2本並列で r/2，その2点→3点は r が4本並列で r/4。A から中央まで 3r/4
• B 側も同じ形なので R_b＝3r/4×2＝1.5r
• (a)：対称性が足りないので，節点の電位を未知数にして電流則を立てます。180度回すと A と B が入れ替わるので，向かい合う点の電位は足して1
• 上段を A，T1，T2，下段を B1，B2，B として V(T1)＝x，V(T2)＝y とおくと，T2 で (x−y)＋(0−y)＝0 → y＝x/2

• A から出る電流は (1−4/7)＋(1−5/7)＝5/7（r あたり）なので R_a＝7/5 r＝1.4r
• r ＜ 1.4r ＜ 1.5r の順。答えは ③ R_c＜R_a＜R_b

④（R_b＜R_a）：ます目が多い (b) は道が多くて小さそうに見えますが，距離も長くなるので (a) より大きくなります。差は 0.1r しかなく，計算で確かめる必要があります。

• 辺が同じひし形のブリッジは平衡していて，対角線は無視できる
• 対称な回路は，同じ電位の点を見つけてまとめる
• 対称性で足りない時は，節点の電位を未知数にして「入る電流＝出る電流」（キルヒホッフの電流則）を立てる