基礎科目・確率・統計
待ち行列
6問H23・H25・H27・H29・R1・R7
窓口が1つの待ち行列で，並んでから処理が終わるまでの平均時間を求めます。
よく出る形
- 窓口（ATM・券売機・改札）が1つ。到着は1時間あたり平均○人（ポアソン分布），処理時間は平均○秒（指数分布）
- 並んでから処理が終わるまでの平均時間（平均系内滞在時間）を求める
- 式は問題文に書いてあることが多い。どれも滞在時間を求める形で，数字（到着人数と処理時間）が替わるだけ
覚えること
- 到着率 λ：単位時間あたりに来る人数
- サービス率 μ：単位時間あたりに処理できる人数（＝1÷1人の処理時間）
- 利用率（トラフィック密度）ρ＝λ÷μ：窓口がふさがっている割合
- 平均系内列長 L＝ρ÷(1−ρ)：並んでいる人と処理中の人の合計の平均
- 平均系内滞在時間 W＝L÷λ。式を整理すると W＝1÷(μ−λ)
- ρ が1に近づくと L は急に大きくなる（ρ＝0.5 で1人，0.9 で9人，0.99 で99人）。L は ρ に比例しない
- ρ が1以上だと，来る人のほうが多く，列は限りなく長くなる。式は ρ＜1 の時だけ成り立つ
- λ と μ をともに2倍にすると，ρ と L は変わらず，W は半分になる
- μ だけを2倍にすると，W＝1÷(2μ−λ) となり，W は半分よりさらに短くなる（待ち時間も減るため）
- 並んで待つだけの平均時間（平均待ち時間）＝ W − 1人の処理時間
解き方
- 単位をそろえる（全部「秒」か全部「時間」に）
- λ と μ を出し，ρ＝λ÷μ
- L＝ρ÷(1−ρ)，W＝L÷λ の順に計算する
- 例：1時間に36人，1人50秒 → λ＝36÷3600＝0.01人/秒，μ＝1÷50＝0.02人/秒，ρ＝0.5
- 上の例の続き：L＝0.5÷0.5＝1人，W＝1÷0.01＝100秒（確かめ：W＝1÷(0.02−0.01)＝100秒）
- 逆算は W＝1÷(μ−λ) から始める。例：1人30秒（μ＝120人/時），W≦120秒＝1/30時間 → 120−λ≧30 → λ≦90人/時
ひっかけ
- 時間と秒をまぜたまま計算しない
- 答えは処理時間より長くなる（待つ時間が加わるため）。処理時間そのものの選択肢は誤り
- 来る人の平均の間隔（1÷λ）を，滞在時間と取りちがえない
- L＝ρ÷(1−ρ) の分子の ρ を落とさない（1÷(1−ρ) は誤り）
このテーマの過去問（このサイトに解説がある 2問）
平成に出た同じテーマ（4問）
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- 平成29年度ATMの待ち行列
- 平成27年度待ち行列（ATMの応答時間）
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- 平成23年度ATMの待ち行列と応答時間