待ち行列 想定問題 2
ある駐車場の出口に精算機が1台ある。精算機を使う利用者の到着はポアソン分布に従い，1人当たりの精算にかかる時間は平均30秒の指数分布に従う。利用者1人が列に加わってから精算を終えるまでの平均時間（平均系内滞在時間）を120秒以下に保ちたい。このとき，1時間当たりの平均到着人数の上限として，最も適切なものはどれか。なお，次の関係を用いてよい。
記号：λ＝到着率，μ＝サービス率，ρ＝利用率，L＝平均系内列長，W＝平均系内滞在時間
ρ＝λ÷μ
L＝ρ÷（1－ρ）
W＝L÷λ
解説
ポイント
滞在時間の上限から，1時間あたりの到着人数の上限を逆に求める問題です。
考え方と解き方
与えられた式を整理すると W ＝ 1 ÷ (μ − λ) です。到着が増えるほど W は長くなるので，上限は W がちょうど120秒になる所です。
- 単位を「時間」にそろえる：μ ＝ 3,600 ÷ 30 ＝ 120 人/時
- 120秒 ＝ 1/30 時間
条件：W ＝ 1 ÷ (120 − λ) ≦ 1/30
- 逆数をとると 120 − λ ≧ 30 なので，λ ≦ 90 人/時
- 確かめ：λ＝90 で ρ＝0.75，L＝3 人，W＝3÷90＝1/30 時間＝120秒。ちょうど上限。答えは ③ 90人
ほかの選択肢
①②（30人，60人）：W は 40秒，60秒で条件を満たしますが，上限ではありません。
④（100人）：W ＝ 1/20 時間 ＝ 180秒 で，120秒を超えます。
⑤（120人）：ρ が1になり，列は限りなく長くなります。
覚えておくこと
- 平均系内滞在時間 W＝L÷λ。式を整理すると W＝1÷(μ−λ)（テキスト・覚えること）
- 逆算は W＝1÷(μ−λ) から始める。例：1人30秒（μ＝120人/時），W≦120秒＝1/30時間 → 120−λ≧30 → λ≦90人/時（テキスト・解き方）
- ρ が1以上だと，来る人のほうが多く，列は限りなく長くなる。式は ρ＜1 の時だけ成り立つ（テキスト・覚えること）
類似する過去問：令和元年度 基礎科目 I-1-5、平成27年度 基礎科目 I-1-2
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