待ち行列 想定問題 3

窓口が1つの待ち行列（M/M/1）で，利用率や到着率・サービス率を変えた時の動きについて，4つの記述の正誤を答える問題です。

L ＝ ρ ÷ (1 − ρ)，W ＝ L ÷ λ ＝ 1 ÷ (μ − λ) を使います。数を1組入れて確かめるのが近道です。

ア：正しい。ρ＝0.5 で L＝1，0.9 で 9，0.99 で 99 と急に増えます。ρ が1以上なら来る人のほうが多く，列は伸び続けます。

イ：正しい。λ も μ も2倍なら ρ は同じで，L も同じです。W ＝ 1 ÷ (2μ − 2λ) は元の半分になります。

ウ：誤り。W ＝ 1 ÷ (2μ − λ) になります。例えば λ＝1，μ＝2 なら，元は 1，変えたあとは 1/3 で，半分よりさらに短くなります。

エ：誤り。ρ＝0.4 で L ≒ 0.67 人，ρ＝0.8 で L ＝ 4 人で，約6倍です。L は ρ に比例しません。答えは ア 正，イ 正，ウ 誤，エ 誤

• ρ が1に近づくと L は急に大きくなる（ρ＝0.5 で1人，0.9 で9人，0.99 で99人）。L は ρ に比例しない（テキスト・覚えること）
• ρ が1以上だと，来る人のほうが多く，列は限りなく長くなる。式は ρ＜1 の時だけ成り立つ（テキスト・覚えること）
• λ と μ をともに2倍にすると，ρ と L は変わらず，W は半分になる（テキスト・覚えること）
• μ だけを2倍にすると，W＝1÷(2μ−λ) となり，W は半分よりさらに短くなる（待ち時間も減るため）（テキスト・覚えること）