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基礎科目・確率・統計

正規分布の和と差

高校

4問H23・H27・R4・R6

独立な正規分布を足したり引いたりしたときの平均と分散，そこから求める確率が出ます。

よく出る形

  • 2つの部品をつないだ長さや，軸と穴のすき間が，どんな正規分布になるかを選ぶ
  • 合力やつないだ長さが基準を超える確率を，標準正規分布の値から求める
  • n 個の平均質量や，n 個の合計の平均・標準偏差を求める（平成23）
  • 毎回，求めるもの（分布の形を選ぶ・確率を求める・平均と標準偏差を求める）と部品の数字が変わる

覚えること

  • N(μ, σ2) は「平均 μ，分散 σ2 の正規分布」。σ は標準偏差（ばらつきの大きさ），σ2 は分散
  • 独立な X と Y の和 X＋Y：平均は μX＋μY，分散は σX2＋σY2
  • 差 X−Y：平均は μX−μY，分散はやはり σX2＋σY2（引き算でも足す）
  • 標準化：z＝(x−μ)÷σ で，平均0・標準偏差1の標準正規分布に直して表を読む
  • 正規分布は左右対称。「z 以上」の確率と「−z 以下」の確率は同じ
  • aX＋b の平均は aμ＋b，標準偏差は |a|σ。足した定数 b はばらつきを変えない
  • 独立な n 個の合計：平均は nμ，標準偏差は √n × σ
  • 独立な n 個の平均値：平均は μ，標準偏差は σ÷√n
  • 1個を n 倍すると標準偏差は n 倍。n 個を足すと √n 倍にとどまる

解き方

  • 求めたい量を「足し算」か「引き算」で書く（すき間＝穴の径−軸の径 など）
  • 平均は式どおり足し引きし，分散は足す。標準偏差は分散の √ をとる
  • 確率を聞かれたら z を計算し，与えられた値や表で読む
  • 逆算は，確率から z を決め，「平均のずれ ＝ z × 標準偏差」とする
  • 例：引張力 平均300・標準偏差30，圧縮力 平均200・標準偏差40 → 合力の平均 100，分散 900＋1600＝2500，標準偏差 50
  • 上の例で200以上となる確率：z＝(200−100)÷50＝2.0 → 表から約2.3%
  • 例：すき間の標準偏差が20 μm で，はまらない確率を0.13%以下（z＝3.0）にする → 平均のすき間は 3.0 × 20 ＝ 60 μm 以上

ひっかけ

  • 標準偏差をそのまま足さない（30＋40＝70 は誤り。√(302＋402)＝50）
  • 差のときに分散を引き算にしない
  • 「超える」は片側だけ。左右の両側を数えて2倍にしない
  • 1個を9倍した標準偏差（9σ）と，9個の合計の標準偏差（3σ）を同じにしない
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想定問題：1・2・3

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