基礎科目・力学
フックの法則とポアソン比
3問H25・R1・R7
3方向の応力とひずみの関係（一般化フックの法則）、ポアソン比、平面応力と平面ひずみの区別が出ます。
よく出る形
- 3方向の垂直応力から，x 方向のひずみを表す式や値を求める
- どんな応力でも体積が変わらない材料のポアソン比
- 平面応力状態と平面ひずみ状態の説明
- 応力から式を立てる問題，ポアソン比の値を選ぶ問題，平面応力と平面ひずみの説明が，年ごとに出る
覚えること
- ポアソン比 ν：縦のひずみに対する横のひずみの比の大きさ。縦に伸びると，横に縮む
- 一般化フックの法則：εx ＝ {σx − ν(σy ＋ σz)}/E（y，z も同じ形）。ほかの方向の応力には「−ν」がつく
- 体積ひずみ ＝ εx ＋ εy ＋ εz ＝ (1 − 2ν)(σx ＋ σy ＋ σz)/E
- 体積が変わらない材料（ゴムなど）は ν ＝ 1/2。金属（鋼など）はおよそ 0.3
- 平面応力状態：とても薄い板を面に沿って引っ張るとき，厚さ方向の「応力」を0とみなす
- 平面ひずみ状態：とても長い物（トンネル・ダムなど）に長さ方向に一様な荷重がかかるとき，長さ方向の「ひずみ」を0とみなす
- 伸び縮みできない向きはひずみ0，何も触れていない面は応力0。この条件を一般化フックの法則に入れて，残りを求める
- せん断弾性係数（横弾性係数）G ＝ E/{2(1 ＋ ν)}。鋼（E ≒ 206 GPa，ν ≒ 0.3）で G ≒ 79 GPa
- 体積弾性係数 K ＝ E/{3(1 − 2ν)}。ν が 1/2 に近づくと K は大きくなり，体積は変わりにくくなる
- ν は 1/2 を超えない（超えると，全方向から押したのに体積が増えることになる）
- 単位をそろえる：200 GPa ＝ 200,000 MPa
解き方
- 各方向のひずみを，一般化フックの法則で書く
- 体積の問題なら，3つのひずみを足して (1 − 2ν) をくくり出す
- 逆算の問題は，「ひずみ0」「応力0」の条件を式に入れて，求めたい応力を解く
- 例：σx ＝ 100 MPa，σy ＝ 50 MPa，σz ＝ 0，E ＝ 200,000 MPa，ν ＝ 0.3 のとき，εx ＝ (100 − 0.3 × 50) ÷ 200000 ＝ 4.25×10−4
- 例：σx だけのとき，体積ひずみ ＝ σx/E − 2νσx/E ＝ (1 − 2ν)σx/E。これが0なので ν ＝ 1/2
ひっかけ
- 薄い板と長い物で，0とみなすもの（応力かひずみか）を入れかえない
- ほかの方向の応力の項を ＋ にしない（横には縮むので −ν）
- 圧縮は負の符号で式に入れる。符号を落とさない
- ν が 1/2 に近づくと K が小さくなる，としない（大きくなる）
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平成に出た同じテーマ（1問）
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- 平成25年度一般化フックの法則